Bonjour !
La dérivation, c'est compliqué quand on ne connaît pas encore bien les formules (donc quand on commence c'est normal), mais ce n'est vraiment qu'une histoire de formules à appliquer dans ces exercices :)
1)
La dérivée de x³ est 3x², donc la dérivée de -4/3 x³ est -4x².
La dérivée de x² est 2x, donc la dérivée de -x² est -2x.
La dérivée de x est 1, donc la dérivée de 2x est 2×1=2.
La dérivée d'une constante est 0, donc la dérivée de 2/3 est 0.
Donc la dérivée de f (qui est la somme de tout ça), est la somme :
f'(x) = -4x² - 2x + 2 + 0 = -4x²-2x+2.
On calcule -2(x+1)(2x-1) = -2(2x²-x+2x-1) = -2(2x²+x-1) = -4x² -2x+2=f'(x).
Donc on a bien f'(x)=-2(x+1)(2x-1).
2) f'(x) est positif quand (x+1)(2x-1) < 0, donc quand :
x+1 > 0 et 2x-1 < 0
OU
x+1 < 0 et 2x-1 > 0
donc :
x > -1 et x < 1/2 (donc -1<x<1/2)
OU
x < -1 et x > 1/2 (impossible car 1/2>-1)
Donc f'(x)>0 pour -1<x<1/2
et f'(x)<0 pour x<-1 et x>1/2.
N'hésite pas si tu as des questions :)
