Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Question 1 ---
l aire du fond de la boite s exprime par
x * ( 20 - 2 x)
car il s agit d un rectangle dont un cote est de longueur x
et l autre de longueur 20 - x - x = 20 - 2x
donc
, en developpant
,
[tex]A(x) = x ( 20-2x) = -2x^2 +20x[/tex]
Question 2 ---
le volume de la boite est egal a
(20-2x) * (30-3x)/2 * x
=(600 - 60x - 60x + 6x^2 ) x/2
= [ 6x^3 -120x^2 +600x ] / 2
= 3x^3 - 60x^2 + 300x
Question 3 ---
x 1 2 3 4 5 6 7 8
V(x) 243 384 441 432 375 288 189 96
il suffit d utiliser la calculatrice ou un tableur
Question 4 ---
V est derivable sur R car il s agit d une fonction polynome
V'(x)=9x^2-120x+300
Question 5 ---
nous pouvons utiliser la formule du discrimant pour determiner les racines
et factoriser l expression
Cependant il existe une racine triviale donc j utilise cette information ici
V'(x)=0
<=>
9x^2-120x + 300 = 0
<=>
3x^2-40x + 100 = 0
<=> [on constate que 10 est une solution triviale donc on factorise par (x-10) ]
(x-10)(3x-10) = 0
<=>
x = 10
ou
x = 10/3
du coup la solution sur [1;8] est 10/3
Question 6 ---
V'(x) = 0 pour x = 10/3
V'(x) <= 0 pour x >= 10/3
V'(x) >= 0 pour 1 <= x <= 10/3
donc V est croissante sur 1 <= x <= 10/3
donc V est decroissante sur 10/3 <= x <= 8
Question 7 ---
d apres les variations de la fonction V
sur [1;8] le maximum de V(x) est atteint quand x=10/3 (V'(x)=0)
donc x = 3.33 cm
Question 8 ---
V(10/3) = 444.44 cm^3
