Réponse :
Bonjour
1. La Courbe C est située au dessus de l tangente T sur ]0; +∞[ et C est en dessous de T sur ]-∞; 0[.
2.
Déterminons l'équation de la tangente T
y = f'(2)(x-2)+f(2) avec f'(x) = -1/x²
y = -1/2²(x-2) + 1/2
y = -x/4 + 1
Etudions le signe de f(x) - y
f(x) - y = 1/x - (-x/4 + 1)
f(x) - y = 1/x + x/4 - 1
f(x) - y = (4 + x² - 4x)/(4x)
f(x) - y = (x - 2)²/(4x)
x-2 = 0 <=> x = 2
x | -∞ 0 2 +∞
(x-2)² | + | + 0 +
4x | - 0 + | +
f(x)-y | - || + 0 +
f(x) - y > 0 sur ]0; 2[ et sur ]2; +∞[
Donc C est strictement au dessus de T sur ]0; 2[ et sur ]2; +∞[
f(x) - y = 0 pour x = 2
Donc C et T se coupent en x = 2.
f(x) - y < 0 sur ]-∞; 0[ donc C est strictement en dessous de T sur ]-∞; 0[.
3. L’équation générale de la tangente au point d'abscisse a est
y = -1/a² (x-a) + 1/a
y = -x/a² + 2/a
f(x) - y = 1/x - (-x/a² + 2/a)
f(x) - y = 1/x + x/a² - 2/a
f(x) - y = (a² + x² - 2ax) / (ax)
f(x) - y = (x - a)²/(a²x)
x-a = 0 <=> x = a
Pour a > 0 :
x | -∞ 0 a +∞
(x-a)² | + | + 0 +
a²x | - 0 + | +
f(x)-y | - || + 0 +
f(x) - y > 0 sur ]0; a[ et sur ]a; +∞[
Donc C est strictement au dessus de T sur ]0; a[ et sur ]a; +∞[
f(x) - y = 0 pour x = a
Donc C et T se coupent en x = a.
f(x) - y < 0 sur ]-∞; 0[ donc C est strictement en dessous de T sur ]-∞; 0[.
Pour a < 0 :
x | -∞ a 0 +∞
(x-a)² | + 0 + | +
a²x | - | - 0 +
f(x)-y | - 0 - || +
f(x) - y > 0 sur ]0; +∞[
Donc C est strictement au dessus de T sur ]0; +∞[
f(x) - y = 0 pour x = a
Donc C et T se coupent en x = a.
f(x) - y < 0 sur ]-∞; a[ et sur ]a; 0[ donc C est strictement en dessous de T sur ]-∞; a[ et sur ]a; 0[.
