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I tu fais les dessins et tu mesures
II Résolution algébrique
1)
condition pour que le triangle AMB soit rectangle en M :
AM² + MB² = AB²
le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés
c'est la réciproque du théorème de Pythagore
2)
on va utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles
AMD et BMC
AB = 13 ; BC = 6 ; DM = x CM = 13 - x
triangle AMD
AM² = MD² + DA²
= x² + 6
AM² = x² + 36
3)
triangle BMC
MB² = MC² + CB²
MB² = (13 - x)² + 36
AB² = 13² = 169
4)
AMB sera rectangle si
AM² + MB² = AB²
(x² + 36) + [(13 - x)² + 36] = 169
5)
cette équation peut s'écrire :
x² + 36 + 13² - 2*13*x + x²+ 36 = 169
x² + 36 + 169 - 26x + x² + 36 = 169
2x² - 26x + 36 + 36 = 0
2x² - 26x + 72 = 0 (1)
6)
on développe (x - 9)(2x - 8)
(x - 9)(2x - 8) = 2x² - 8x - 18x + 72 = 2x² - 26x + 72
7)
puisque 2x² - 26x + 72 est égal à (x - 9)(2x - 8)
l'équation (1) peut s'écrire sous la forme
(x - 9)(2x - 8) = 0 (2)
8)
résolution de (2) qui est une équation produit nul
(x - 9)(2x - 8) = 0 si et seulement si x - 9 = 0 ou si 2x - 8) = 0
x = 9 ou x = 4
Il y a deux positions de M pour lesquelles le triangle est rectangle
DM = 4 et DM = 9
