Réponse :
bjr
Explications étape par étape
u est lineaire ?
prenons a,b dans R et P, Q deux polynomes dans Rn[x] quelconques
on verifie aisement que
u(aP+bQ) = au(P)+bu(Q)
donc u est lineaire
determinons le noyau de u
c est l ensembe des polynomes a coefficients reels de degre inferieur ou egal a n
tel que u(P) soit le polynome nul
cela s ecrit
P(2X)-2^nP(X) = 0
ou encore
(1) P(2X)=2^nP(X)
travaillons sur la base canonique de Rn[X]
il existe a0, a1, ..., an n+1 reels tels que
P(x)= somme de ai X^i pour i allant de 0 a n
l equation (1) s ecrit alors
pour tout (ai)0<=i<=n
ai(2X)^i = 2^n aiX^i
d ou
2^i ai = 2^n ai
c est vrai pour i = n et quel que soit an
et ai = 0 pour tout i < n
donc le noyau de u est en fait le sous espace vectoriel engendre par le monome x^n
pour l image de u, notons que u(P) s ecrit avec les notations deja introduites
somme de (2^i - 2^n) aiX^i pour i allant de 0 a n
Soit (bi)0<=i<=n les coordonnes de u(P) dans la base canonique
pouvons nous trouver (ai)0<=i<=n tel que
bi = (2^i - 2^n) ai ?
pour i = n ca donne bn = 0 et pour i different de n je peux trouver
ai = bi / (2^i - 2^n)
donc l image de u est le sous espace vectoriel des polynomes de degre inferieur ou egal a n-1
Nous savons du cours que ker(u) et Im(u) sont des espaces vectoriels, ici de Rn[X] qui est de dimension n+1
or dim(Ker(u)) = 1 et dim(Im(u)) = n
dim(Ker(u)) + dim(Im(u)) = dim[Rn[X])
et le seul element commun aux deux ensembles ker(u) et Im(u) est l element 0 de Rn[X]
donc les deux espaces sont supplementaires
