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Bonjour ! J'ai un DM à rendre pour demain par mail. Voilà l'énoncé :
On définit la suite (Un) par : U0 = 1 et pour tout n > 0, Un+1 = Un + 2n - 3
Question : Démontrer que (Un) est monotone à partir d'un certains rang que l'on précisera.

Sagot :

Réponse : Bonsoir,

On a:

[tex]U_{n+1}=U_{n}+2n-3\\U_{n+1}-U_{n}=2n-3[/tex]

Donc étudier le signe de [tex]U_{n+1}-U_{n}[/tex], revient à étudier le signe de 2n-3:

[tex]\displaystyle 2n-3 > 0\\2n > 3\\n > \frac{3}{2}[/tex]

On a donc que 2n-3 > 0, pour n > [tex]\frac{3}{2}[/tex], et 2n-3 < 0, pour n < [tex]\frac{3}{2}[/tex].

On en déduit donc que [tex]U_{n+1}-U_{n} > 0[/tex], pour n > [tex]\frac{3}{2}[/tex], donc que la suite [tex](U_{n})[/tex] est croissante à partir de n=2.

On a aussi que [tex]U_{n+1}-U_{n} < 0[/tex], pour n < [tex]\frac{3}{2}[/tex], donc que la suite est décroissante, pour les rangs n=0 et n=1, c'est à dire que [tex]U_{0} > U_{1}[/tex].

Donc la suite [tex](U_{n})[/tex] est monotone à partir du rang n=2.

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