Réponse : Bonsoir,
1) [tex]A \in \mathcal{C}[/tex], et A a pour abscisse x, donc A(x;x²).
[tex]C \in d[/tex], d a pour équation x=12, et C est sur l'axe des abscisses, donc C(12;0).
B a la même ordonnée que A, puis [tex]B \in d[/tex], donc B(12;x²).
2) L'aire [tex]\mathcal{A}[/tex] du rectangle MABC est:
[tex]\mathcal{A}=MC \times MA\\MC=\sqrt{(12-x)^{2}+(0-0)^{2}}=|12-x|\\MA=\sqrt{(x-x)^{2}+(x^{2}-0)^{2}}=\sqrt{x^{4}}=x^{2}[/tex]
Pour x ∈ [0;12], déterminons |12-x|.
On résout l'inéquation 12-x > 0:
[tex]12-x > 0\\x < 12[/tex]
Donc pour x ∈ [0;12], |12-x|=12-x.
On est en mesure de calculer l'aire du rectangle MABC:
[tex]\mathcal{A}=MC \times MA=x^{2}(12-x)=12x^{2}-x^{3}[/tex]
3)a)b)
[tex]f'(x)=12 \times 2x-3x^{2}=24x-3x^{2}=x(24-3x)[/tex]
Pour x ∈ [0;12], f'(x) est du signe de 24-3x.
On résout l'inéquation 24-3x > 0:
[tex]24-3x > 0\\3x < 24\\x < 8[/tex]
On a donc le tableau de signes suivant:
x 0 8 12
f'(x) + Ф -
f(x) (croissante) f(8) (décroissante)
4) A la lecture du tableau de variations précédent, le position du point M, rendant l'aire du rectangle MABC maximale est x=8.
Et cette aire maximale vaut f(8):
[tex]f(8)=-8^{3}+12 \times 8^{2}=256[/tex]
