Bonjour ;
1.
La fonction f est une fonction rationnelle , donc elle
est dérivable sur son domaine de définition .
f ' (x) = ((x² - 4x +7)/(x - 1)) '
= ((x² - 4x + 7) ' (x - 1) - (x - 1) ' (x² - 4x + 7))/(x - 1)²
= ((2x - 4)(x - 1) - (1) (x² - 4x + 7))/(x - 1)²
= (2x² - 2x - 4x + 4 - x² + 4x - 7)/(x - 1)²
= (x² - 2x - 3)/(x - 1)² .
2.
On a : f ' (x) = (x² - 2x - 3)/(x - 1)² ;
donc f ' est du signe de x² - 2x - 3 .
Résolvons l'équation : x² - 2x - 3 = 0 .
On a : Δ = (- 2)² - 4 * 1 * (- 3) = 16 = 4² ;
donc : x1 = (2 - 4)/2 = - 1 et x2 = (2 + 4)/2 = 3 .
Puisque le coefficient de second degré de l'expression
x² - 2x - 3 est 1 > 0 ; alors on a :
f ' est nulle pour x = - 1 et x = 3 ;
f ' est strictement positive pour x ∈ ]- ∞ ; - 1[ ∪ ]3 ; + ∞[ ;
f ' est strictement négative pour x ∈ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ; 3[ .
3.
f ' est strictement positive pour x ∈ ]- ∞ ; - 1[ ∪ ]3 ; + ∞[ ;
donc f est strictement croissante sur ]- ∞ ; - 1[ ∪ ]3 ; + ∞[ .
f ' est strictement négative pour x ∈ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ; 3[ ;
donc f est strictement décroissante sur ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ; 3[ .
f ' est nulle pour x = - 1 , de plus elle croissante sur ]- ∞ ; - 1[
et décroissante sur ]- 1 ; 1[ ; donc f admet un maximum local
pour x = - 1 qui est f(- 1) = - 6 .
f ' est nulle pour x = 3 , de plus elle décroissante sur ]1 ; 3[
et croissante sur ]3 ; + ∞[ ; donc f admet un minimum local
pour x = 3 qui est f(3) = 3 .
4.
a.
On a : f ' (2) = (4 - 4 - 3)/(1) = - 3 et f(2) = (4 - 8 + 7)/(1) = 3 ;
donc l'équation de la tangente T à la courbe Cf au point
d'abscisse x = 2 est :
y = f ' (2) x - 2 f ' (2) + f(2) = - 3x + 6 + 3 = - 3x + 9 .
b.
f(x) - (- 3x + 9) = (x² - 4x + 7)/(x - 1) - (- 3x + 9)
= (x² - 4x + 7)/(x - 1) - ((- 3x + 9)(x - 1))/(x - 1)
= (x² - 4x + 7)/(x - 1) - (- 3x² + 3x + 9x - 9))/(x - 1)
= (x² - 4x + 7)/(x - 1) - (- 3x² + 12x - 9))/(x - 1)
= (x² - 4x + 7 + 3x² - 12x + 9)/(x - 1)
= (4x² - 16x + 16)/(x - 1)
= 4(x² - 4x + 4)/(x - 1)
= 4(x - 2)²/(x - 1) .
c.
On a : f(x) - (- 3x + 9) = 4(x - 2)²/(x - 1) ;
donc : f(x) - (- 3x + 9) est du signe de x - 1 .
Pour x ∈ ]- ∞ ; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ , on a : x - 1 < 0 ;
donc : f(x) - (- 3x + 9) < 0 ;
donc : f(x) < - 3x + 9 ;
donc Cf est au-dessous de T .
Pour x ∈ ]1 ; + ∞[ , on a : x - 1 > 0 ;
donc : f(x) - (- 3x + 9) > 0 ;
donc : f(x) > - 3x + 9 ;
donc Cf est au-dessus de T .
Pour x = 2 , on a : f(2) - (- 3 * 2 + 9) = 3 - 3 = 0 ;
donc au point d'abscisse x = 2 la courbe la droite T
coupe la courbe Cf : le point d'intersection de Cf et T
est le point de coordonnées : (2 ; 3) .
