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Bonsoir tout le monde !

ABCD est un muret de carré de coté 4.
On place M sur [ AB ] et N sur [ BC ] de façon qur AM = BN.
On appelle x la longueur AM.

1 ) Exprimez en fonction de x les aires des triangles ADM, BMN et CDN.
2 ) Démontrez que l'aire de DMN vaut x2 ÷ 2 - 2x + 8.
3 ) On pose f(x) = x2 ÷ 2 - 2x + 8. Vérifiez que l'on a f(x) = ( x- 2)° ( au carré) ÷ 2 + 6.
4 ° Quelle positon doivent prendre M et N pour que l'aire de DMN soit minimale ?

Bonne soirée : )

Sagot :

1) Calcul des aires des triangles :

Rappel de la formule :

[tex] \frac{base \times hauteur}{2} [/tex]

Le triangle ADM :

AM = x et AD = 4

[tex] \frac{4x}{2} = 2x[/tex]

L'aire de ADM est 2x.

Le triangle BMN :

BN=x et MB = 4-x

[tex] \frac{x(4 - x)}{2} = \frac{4x - {x}^{2} }{2} = 2x - \frac{ {x}^{2} }{2} [/tex]

L'aire se BMN est 2x-x^2/2.

Le triangle CDN :

CD = 4 et NC = 4-x

[tex] \frac{4(4 - x)}{2} = 2(4 - x) = 8 - 2x[/tex]

L'aire de CDN est 8-2x.

L'aire se DMN.

Son aire correspond à l'aire du carré à laquelle on soustrait les aires des trois triangles AMD, BMN et CDN.

[tex] {4}^{2} - (2x) - (2x - \frac{ {x}^{2} }{2} ) - (8 - 2x) = \\ 16 - 2x - 2x + \frac{ {x}^{2} }{2} - 8 + x = \\ 16 - 8 - 2x + \frac{ {x}^{2} }{2} = \\ 8 - 2x + \frac{ {x}^{2} }{2} [/tex]

3) Développons l'expression donnée

[tex] \frac{ {(x - 2)}^{2} }{2} + 6 = \frac{ {x}^{2} + 4 - 4x }{2} + 6 = \\ \frac{ {x}^{2} + 4 - 4x + 12}{2} = \frac{ {x}^{2} }{2} + \frac{16}{2} - \frac{4x}{2} = \\ \frac{ {x}^{2} }{2} + 8 - 2x[/tex]

4) Calcul de l'aire minimale

On sait que : 0<x<4.

Voici mes résultats :

x=0, Aire = 8

x=1, aire = 6,5

x=2, aire = 6

x=3, aire = 6,5

x=4, aire =8.

Donc x = 2 pour que l'aire de DMN soit minimale.

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