Réponse :
Explications étape par étape
2)a)
ABCD est un carré donc [tex](AB)\perp(AD)[/tex]
De plus AB=AD=1 donc [tex](A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})[/tex] est orthonormé
b)
On a par définition A(0,0), B(1;0) et D(0;1)
[tex]\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}[/tex]
Donc C(1;1)
ABE est un triangle équilatéral donc H base de la hauteur est aussi le milieu de [AB]
[tex]\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}[/tex]
Donc [tex]H(\frac{1}{2} ;0)[/tex]
[tex]\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HE}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{HE}[/tex]
or (HE)//(AD) et dans le triangle rectangle AHE, [tex]sin(\widehat{HAE}) = \frac{HE}{AE} =\frac{HE}{AB}\\HE = AB * sin(60)=1*\frac{\sqrt{3} }{2} = \frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}+\frac{\sqrt{3} }{2} \overrightarrow{AD}[/tex]
Donc [tex]H(\frac{1}{2} ;\frac{\sqrt{3} }{2} )[/tex]
BCF est un triangle équilatéral. Soit H' le projeté orthogonal de F sur (BC). [FH'] est la hauteur de ce triangle et aussi la médiane. Donc [tex]BH'=\frac{1}{2} BC[/tex]
On a comme précédemment (même démonstration) [tex]H'F = \frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH'}+\overrightarrow{H'F}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AD}+\frac{\sqrt{3} }{2} }\overrightarrow{AB} =(1+\frac{\sqrt{3} }{2}})\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AD}[/tex]
[tex]F(1+\frac{\sqrt{3} }{2}};\frac{1}{2})[/tex]
c)
[tex]\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}+\frac{\sqrt{3} }{2} \overrightarrow{AD} -\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2} \overrightarrow{AB}+(\frac{\sqrt{3} }{2}-1)\overrightarrow{AD}[/tex]
[tex]\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AD}=(1+\frac{\sqrt{3} }{2}})\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}=(1+\frac{\sqrt{3} }{2}})\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2} \overrightarrow{AD}[/tex]
[tex]det(\overrightarrow{DE}, \overrightarrow{DF})=\frac{1}{2} *(-\frac{1}{2} )-(1+\frac{\sqrt{3} }{2}})(\frac{\sqrt{3} }{2}-1)=-\frac{1}{4} -(\frac{\sqrt{3} }{2} )^{2} -1)=-\frac{1}{4} -(\frac{3}{4} )-1)\\det(\overrightarrow{DE}, \overrightarrow{DF})=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=0[/tex]
Les vecteurs sont colinéaires donc les points D,E,F sont alignés