Réponse :
bjr
Explications étape par étape
Soit f la fonction definie sur R par [tex]f(x)=cos^2(x)[/tex]
On nous demande de se faire une idee de la parite et la periodicite de la fonction f
ben regardons ce que ca donne
utilisons la calculatrice pour voir la courbe representative de f
on voit qu elle est paire (symetrie par rapport a l axe des ordonnees)
et on voit qu elle est periodique de periode pi car le graphe se repete pour toutes les periodes de pi
C est quoi la parite d une fonction?
f est paire <=> ( pour tout x reel f(-x)=f(x) )
f est impaire <=> ( pour tout x reel f(-x)=-f(x) )
essayons d evaluer f(-x) et on verra si c est egal a f(x), -f(x) ou pas
pour tout reel x
[tex]f(-x)=cos^2(-x)[/tex]
or cos(-x)=cos(x) car la fonction cosinus est paire donc
[tex]f(-x)=cos^2(x)=f(x)[/tex]
donc f est paire sur R
C est quoi la periodicite d une fonction?
je regarde dans le cours et la definition est
On dit que f est periodique s il existe un nombre reel non nul t tel que
pour tout x reel f(x+t) = f(x)
que dire de la fonction consinus?
pour tout x reel cos(x+2pi)=cos(x)
donc consinus est une fonction de periode 2pi
de ce fait la fonction f est aussi une fonction de periode 2 pi
mais on peut peut etre faire mieux
en remarquant que pour tout x reel cos(x+pi)=-cos(x)
et donc pour tout x reel
[tex]f(x+pi)=cos^2(x+pi)= (-cos(x))^2 = cos^2(x) = f(x)[/tex]
De ce fait, f est une fonction periodique de period pi
