Réponse :
Explications étape par étape
Soit [tex](u_{n} )[/tex] la suite définie sur [tex]\mathbb{N}[/tex] par [tex]u_{0} =5[/tex] et [tex]u_{n+1} = \frac{4u_{n}-3 }{3u_{n}-2}[/tex]
1) a)
[tex]u_{0} =5[/tex]
[tex]u_{1} =\frac{4u_{0}-3 }{3u_{0}-2}=\frac{4*5-3}{3*5-2}=\frac{17}{13}[/tex]
[tex]u_{2} =\frac{4u_{1}-3 }{3u_{1}-2}=\frac{4*\frac{17}{13} -3}{3*\frac{17}{13}-2}=\frac{\frac{68}{13} -3}{\frac{51}{13} -2}=\frac{\frac{68-39}{13} }{\frac{51-26}{13} }=\frac{29}{25}[/tex]
[tex]u_{3} =\frac{4u_{2}-3 }{3u_{2}-2}=\frac{4*\frac{29}{25} -3}{3*\frac{29}{25}-2}=\frac{\frac{116}{25} -3}{\frac{87}{25} -2}=\frac{\frac{116-75}{25} }{\frac{87-50}{25} }=\frac{41}{37}[/tex]
b)
[tex]u_{7} =\frac{89}{85}[/tex]
c) La suite semble décroissante et sa limite semble tendre vers 1
2)
a)
Soit la suite [tex](v_{n} )[/tex] définie sur [tex]\mathbb{N}[/tex] par [tex]v_{n}=\frac{1}{u_{n}-1}[/tex]
[tex]v_{0}=\frac{1}{u_{0}-1}=\frac{1}{5-1} =\frac{1}{4} \\[/tex]
[tex]v_{1}=\frac{1}{u_{1}-1}=\frac{1}{\frac{17}{13} -1} =\frac{1}{\frac{17-13}{13}} =\frac{13}{4}[/tex]
[tex]v_{2}=\frac{1}{u_{2}-1}=\frac{1}{\frac{29}{25} -1} =\frac{1}{\frac{29-25}{25}} =\frac{25}{4}[/tex]
[tex]v_{3}=\frac{1}{u_{3}-1}=\frac{1}{\frac{41}{37} -1} =\frac{1}{\frac{41-37}{37}} =\frac{37}{4}[/tex]
b)
On a [tex]v_{3}-v_{2}=v_{2}-v_{1}=v_{1}-v_{0}=3[/tex]
La suite semble être une suite arithmétique de raison 3
c)
[tex]v_{n+1}-v_{n}=\frac{1}{u_{n+1}-1} - \frac{1}{u_{n}-1} =\frac{1}{\frac{4u_{n}-3 }{3u_{n}-2}-1} - \frac{1}{u_{n}-1} =\frac{1}{\frac{4u_{n}-3 -3u_{n}+2}{3u_{n}-2}} - \frac{1}{u_{n}-1} \\[/tex]
[tex]v_{n+1}-v_{n}=\frac{1}{\frac{u_{n}-1}{3u_{n}-2}} - \frac{1}{u_{n}-1}=\frac{3u_{n}-2}{u_{n}-1} - \frac{1}{u_{n}-1}=\frac{3u_{n}-3}{u_{n}-1}=\frac{3(u_{n}-1)}{u_{n}-1}=3[/tex]
La suite est une suite arithmétique de raison r=3 et de premier terme [tex]v_{0}=\frac{1}{4}[/tex]
3)
a)
[tex]v_{n} =v_{0} +nr=\frac{1}{4} +3n[/tex]
b)
[tex]v_{n}=\frac{1}{u_{n}-1} \Rightarrow u_{n}-1=\frac{1}{v_{n}} \Rightarrow u_{n}=\frac{1}{v_{n}}+1[/tex]
[tex]u_{n}=\frac{1}{\frac{1}{4} +3n}+1=\frac{1}{\frac{1+12n}{4}}+1={\frac{4}{1+12n}}+1=\frac{4+1+12n}{1+12n}=\frac{12n+5}{12n+1}[/tex]
c)
Le 10e terme est [tex]u_{9}[/tex] (le premier est [tex]u_{0}[/tex])
[tex]u_{9}=\frac{12*9+5}{12*9+1}=\frac{113}{109}[/tex]
4)
[tex]u_{n+1}-u_{n}=\frac{12(n+1)+5}{12(n+1)+1}-\frac{12n+5}{12n+1}= \frac{12n+17}{12n+13}-\frac{12n+5}{12n+1}= \frac{(12n+17)(12n+1)-(12n+5)(12n+13)}{(12n+13)(12n+1)}[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_{n}= \frac{144n^{2} +12n +204n+17-144n^{2}-156n-60n-65}{(12n+13)(12n+1)}\\u_{n+1}-u_{n}= -\frac{48}{(12n+13)(12n+1)}<0[/tex]
La suite est strictement décroissante
5) Bonus: calcul de la limite
[tex]u_{n}=\frac{12n+5}{12n+1}\\\\12n+5 > 12n+1 \Rightarrow u_{n}\geq 1[/tex]
La suite est décroissante et minorée par 1. Donc elle admet une limite
[tex]u_{n} =\frac{12n+1+4}{12n+1} =\frac{12n+1}{12n+1}+\frac{4}{12n+1}=1+\frac{4}{12n+1}[/tex]
Si [tex]n\to0 \Rightarrow \frac{4}{12n+1} \to 0[/tex]
Donc [tex]u_{n} \to 1[/tex]