Réponse :
bjr
Explications étape par étape
u1 = [ 3 * 1/2 ] / [ 1 + 2 * 1/2 ]
u1 = [ 3 * 1/2 ] / [ 2 ]
u1 = 3/4
u2 = [ 3 * 3/4 ] / [ 1 + 2 * 3/4 ]
u2 = [ 9/4 ] / [ 1 + 3/2 ]
u2 = [ 9/4 ] / [ 5/2 ]
u2 = [ 9/4 ] * [ 2/5 ]
u2 = 9/10
vn = [ un ] / [ 1 - un ]
vn+1 = [ un+1 ] / [ 1 - un+1 ] et comme un+1 = [ 3 * un ] / [ 1 + 2 * un ]
vn+1 = { [ 3 * un ] / [ 1 + 2 * un ] } / [ 1 - [ 3 * un ] / [ 1 + 2 * un ] ]
vn+1 = { [ 3 * un ] / [ 1 + 2 * un ] } * { [ 1 + 2 * un ] / [ 1 + 2 * un - 3 * un ] } donc
vn+1 = [ 3 * un ] / [ 1 - un ] = 3 vn
donc Vn est une suite geometrique de raison 3
vn = v0 3^n
comme v0 = 1
vn = 3^n
De ce fait un = (1-un) 3^n
donc ( 1 + 3^n ) un = 3^n et ainsi
un = 3^n / ( 1 + 3^n )
un = 1 / ( 1+ 1/3^n)
comme 1< e < 3 nous avons
e^n < 3^n donc
1/3^n < 1/e^n = e^(-n) donc
( 1 + 3^n ) < ( 1 + e^(-n) ) donc
1 / ( 1 + 3^n ) > 1 / ( 1 + e^(-n) ) et donc
3^n / ( 1 + 3^n ) > 3^n / ( 1 + e^(-n) ) ainsi
un > 1 / ( 1 + e^(-n) )
nous avons 1 / ( 1 + e^(-n) ) < un < 1
or lim (1 / ( 1 + e^(-n) )) = 1 quand n tend vers l infini
donc un converge et sa limite est 1
