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Bonjour, j'ai un DM pour demain et il ya une question que je ne comprends pas :

Montrer que, à périmètre fixe, l'air d'un disque est tjrs plus grand que l'air d'un carré.

Merci de m'aidez s'il vous plait.

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonsoir,

Explications étape par étape

Soit L le périmètre fixe, r le rayon du disque et c le côté du carré.

Pour le disque:

[tex]L=2*\pi*r \Longrightarrow\ r=\dfrac{L}{2\pi} \\\\Aire=\pi*r^2=\pi*(\dfrac{L}{2\pi})^2\\\\\boxed{Aire=\dfrac{L^2}{4\pi}}\\[/tex]

Pour le carré:

[tex]L=4*c \Longrightarrow\ c=\dfrac{L}{4} \\\\Aire=c^2=(\dfrac{L}{4})^2\\ \\\boxed{Aire=\dfrac{L^2}{16}}[/tex]

Rapport des aires

[tex]Q=\dfrac{Disque}{Carr\' e} =\dfrac{\dfrac{L^2}{4\pi} }{\dfrac{L^2}{16} } \\\\Q=\dfrac{4}{\pi} > 1\\[/tex]

A périmètre constant, Aire du disque > Aire du carré

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