Bonjour ;
1.
La fonction f est une fonction polynomiale définie sur [0 ; 6]
par : f(t) = 1/3 t³ - 3t² + 9t ; donc elle est dérivable sur [0 ; 6] .
On a : f ' (t) = (1/3 t³ - 3t² + 9t) '
= 1/3 (t³) ' - 3 (t²) ' + 9 (t) '
= 1/3 * 3t² - 3 * 2t + 9 * 1
= t² - 2 * 3 * t + 3²
= (t - 3)² ≥ 0 .
Si f ' (t) = 0 alors : (t - 3)² = 0 ;
donc : t - 3 = 0 ; donc : t = 3 .
f ' s'annule en un seul point et strictement positive
sur [0 ; 3[ U ]3 ; 6] ; donc f est strictement croissante
sur [0 ; 6] .
Pour compléter le tableau de variation , on a : f(0) = 0
et f(6) = 1/3 * 6³ - 3 * 6² + 9 * 6 = 1/3 * 216 -3 * 36 + 54
= 72 - 108 + 54 = 18 .
2.
Le mobile se meut sur un axe gradué rectiligne ;
donc c'est un mouvement rectiligne .
De plus , on a : f " (t) = ((t - 3)²) ' = 2(t - 3) .
f " est l'accélération du mobile , et comme elle n'est
pas constante alors le mouvement est non uniformément varié .
En conclusion , le mouvement du mobile est rectiligne non
uniformément varié .
3.
a.
La vitesse initiale du mobile est : f ' (0) = (0 - 3)² = 3² = 9 cm/s .
b.
f ' (t) < 1 ;
donc : (t - 3)² < 1 ;
donc : (t - 3)² - 1 < 0 ;
donc : (t - 3)² - 1² < 0 ;
donc : (t - 3 - 1)(t - 3 + 1) < 0 ;
donc : (t - 4)(t - 2) < 0 .
(t - 4)(t - 2) = 0 si t - 4 = 0 ou t - 2 = 0 ;
donc : t = 4 ou t = 2 .
Comme (t - 4)(t - 2) est expression de second degré
dont le coefficient de second degré est 1 > 0 ;
donc elle est strictement négative pour t ∈ ]2 ; 4[ ;
donc : la vitesse du mobile est inférieure à 1 cm/s
pour t ∈ ]2 ; 4[ .
