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Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape
3081
1)a)
[tex]\overrightarrow{AC} .\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JD})=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{JD}[/tex]
Or [tex](DJ)\perp(AC)[/tex] et [tex](BI)\perp(AC)[/tex] [tex]\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DJ}=0[/tex]
[tex]\overrightarrow{AC} .\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{IJ}=-AC*IJ[/tex] (car [tex]\overrightarrow{AC} \ et \overrightarrow{IJ}[/tex] sont colinéaires mais de sens contraires)
b)
[tex]\overrightarrow{AC} .\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}).(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}).(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{BC}^{2} -\overrightarrow{AB}^{2}=b^{2}-a^{2}[/tex]
2)
[tex]-AC*IJ = b^{2} -a^{2}[/tex]
or dans le triangle ABC rectangle en B d'après pythagore [tex]AC^{2} =a^{2} +b^{2}[/tex]
[tex]IJ =\frac{a^{2} -b^{2} }{\sqrt{a^{2} +b^{2}} }[/tex]
3087
1)
a)
I milieu de [AB] donc
[tex]\overrightarrow{OI}= \frac{1}{2} (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})[/tex]
[tex]\overrightarrow{OI} \ colineaire\ a \ (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})[/tex]
b)
[tex]\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{OI}=(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}).\frac{1}{2} (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=\frac{1}{2} (\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OB)}[/tex]
or [tex](OC)\perp(OB) \ et \ (OA)\perp(OD)[/tex][tex]\Rightarrow \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OD}=0[/tex]
[tex]\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2} (\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OB)})[/tex]
[tex]\overrightarrow{OC} \ colineaire\ a\ \overrightarrow{OA}\ et \ \overrightarrow{OD} \ colineaire \ a \ \overrightarrow{OB}[/tex]
[tex]\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2} (OC*OA-OD*OB)=0[/tex]
[tex](DC)\perp(OI)[/tex]
2)
a)
[tex](\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}).\overrightarrow{BA}=(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}).(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}.\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA} = OD*OB-0+0-OC*OA=0[/tex]
b)
Soit M le milieu de [DC]
[tex](\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BA})=\frac{1}{2} (\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}).\overrightarrow{BA}=0[/tex]
Soit K le point d'intersection de (OJ) et (DC)
[tex](OK)\perp(BA)\ et\ (OM)\perp(BA) \Rightarrow (OK)=(OM)[/tex]
Donc K=M
Le point d'intersection est donc le milieu de [DC]
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