Réponse :
bjr, n hesites pas si tu as des questions
Explications étape par étape
La suite est definie par
u1 = 1/3
un+1 = (n+1)/3n un
Question 1 --
u1 = 1/3
u2 = ( 1 + 1 ) / (3 * 1 ) u1
u2 = 2/3 * 1/3 = 2/9
u3 = ( 2 + 1 ) / ( 3 * 2 ) u2
u3 = 1/2 * 2/9 = 1/9
u4 = ( 3 + 1 ) / ( 3 * 3 ) u3
u4 = 4/9*1/9
u4 = 4/81
Question 2 --
vn+1 = un+1 / ( n + 1 ) = (n+1)/(3n*(n+1))un = (1)/(3n) * un
vn+1 = 1/3 * un/n = 1/3 vn
vn+1 / vn = 1/3 donc vn est une suite geometrique de raion 1/3 dont le premier terme est v1=1/3
Question 3 --
nous savons du cours que vn s ecrit donc vn = v1 (1/3)^(n-1)= (1/3)^n
or un = n vn donc un = n (1/3)^n pour tout n > 0
Question 4 --
pour tout n > 0
un+1-un = (n+1)(1/3)^n+1 - n(1/3)^n = (1/3)^(n) ( (n+1)/3 - n) = (1/3)^(n) ( n + 1 - 3n) / 3
un+1-un = (1/3)^(n+1) ( n + 1 - 3n) = (1/3)^(n+1) ( 1 - 2n)
Or
(1/3)^(n+1) > 0 pour tout n-1
( 1 - 2n) < 0 pour n>=1
donc un+1 - un est negatif et donc la suite un est decroissante
Question 5 --
faisons un petit programme en python
epsilon = 10**(-3)
n = 1
while (n*(1/3)**n > epsilon ):
n += 1
print (n)
a)
pour epsilon = 10^-3 n est egal a 9
b)
pour epsilon = 10^-6 n est egal a 16
c)
Comme un >= 0 et un decroissante nous savons que un a une limite
il semble que la suite tende vers 0 quand n tend vers plus l infini
car pour tout epsilon (aussi petit soit il) nous arrivons a trouver un rang N a partir duquel pour tous les n >= N un <= epsilon
