Sagot :
Réponse : Bonsoir,
Exercice 1
1)c) On suppose d'abord que M appartient à la droite (AB), donc les points M, A et B sont alignés, donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AM}[/tex], sont colinéaires, c'est à dire si [tex]det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM})=0[/tex].
Donc d'après la question 1)b):
[tex]det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM})=0\\\Leftrightarrow -3x-6y+18=0\\\Leftrightarrow \displaystyle \frac{-3x-6y+18}{-3}=\frac{0}{-3}\\\Leftrightarrow x+2y-6=0[/tex]
Donc si M appartient à la droite (AB), alors x+2y-6=0.
On suppose maintenant que M(x;y), vérifie x+2y-6=0.
Démontrons que M appartient à la droite (AB).
Il faut montrer que les points M, A et B, sont alignés, donc que les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AM}[/tex], sont colinéaires c'est à dire que [tex]\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM})=0[/tex].
M(x;y), vérifie x+2y-6=0, donc:
[tex]x+2y-6=0\\2y=6-x\\y=3-\frac{1}{2}x[/tex]
On a que:
[tex]\overrightarrow{AB}(-2-4;4-1) \Leftrightarrow{AB}(-6;3)\\\overrightarrow{AM}(x-4;y-1)[/tex]
On a que [tex]y=3-\frac{1}{2}x[/tex], donc:
[tex]\overrightarrow{AM}(x-4;3-\frac{1}{2}x-1) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}(x-4;2-\frac{1}{2}x)[/tex]
On calcule finalement [tex]det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM})[/tex]:
[tex]det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AM})=-6(2-\frac{1}{2}x)-3(x-4)=-12+3x-3x+12=0[/tex]
Les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AM}[/tex], sont colinéaires, les points M, A et B sont alignés, donc M ∈ (AB).
Par suite, M appartient à la droite (AB) si et seulement si x+2y-6=0.
2)a) [tex]C \in \Delta[/tex], si [tex]det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=15[/tex].
On a:
[tex]\overrightarrow{AC}(3-4;-1-1) \Leftrightarrow{AC}(-1;-2)\\\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=-6 \times -2-(-1) \times 3=12+3=15[/tex]
Donc [tex]C \in \Delta[/tex].
b) D vérifie [tex]\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}[/tex], donc:
[tex]\displaystyle \left \{ {{x_{D}-3=-6} \atop {y_{D}+1=3}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x_{D}=-3} \atop {y_{D}=2}} \right.[/tex]
Donc D(-3;2).
c)
[tex]||\overrightarrow{AD}||=\sqrt{(-3-4)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}\\||\overrightarrow{BC}||=\sqrt{(3+2)^{2}+(-1-4)^{2}}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}[/tex]
ABDC étant un parallélogramme, et [tex]||\overrightarrow{AD}||=||\overrightarrow{BC}||[/tex], or ce sont les diagonales, donc celles-ci sont de même longueur, or un parallélogramme, qui a ses diagonales de même longueurs est un rectangle.
Donc ABDC est un rectangle.
d) L'aire [tex]\mathcal{A}[/tex] du rectangle ABDC est égale à :
[tex]\mathcal{A}=AB \times AC\\AB=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(-6)^{2}+3^{2}}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\\AC=||\overrightarrow{AC}||=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\\Donc \; \mathcal{A}=3\sqrt{5} \times \sqrt{5}=3 \times 5=15[/tex]
Exercice 2
2)a) On développe :
[tex](x-2)(x+5)=x^{2}+5x-2x-10=x^{2}+3x-10[/tex]
Donc x²+3x-10=(x-2)(x+5).
b) Les abscisses x des points d'intersection de f et g vérifient f(x)=g(x), donc:
[tex]f(x)=g(x)\\x^{2}-4x-1=-7x+9\\x^{2}-4x+7x-1-9=0\\x^{2}+3x-10=0[/tex]
D'après la question précédente, x²+3x-10=(x-2)(x+5), donc les abscisses x des points d'intersection de f et g vérifient:
[tex](x-2)(x+5)=0\\x-2=0 \quad ou \quad x+5=0\\x=2 \quad ou \quad x=-5[/tex]
Les abscisses des points d'intersection de f et g, sont x=2, et x=-5.
Et les coordonnées de ces deux points sont:
i) Pour x=2, c'est le point de coordonnées [tex](2;g(2))[/tex], donc:
[tex]g(2)=-7 \times 2+9=-14+9=-5[/tex]
Donc les coordonnées du premier point d'intersection de f et g est (2;-5).
ii) Pour x=-5, c'est le point de coordonnées (-5;g(-5)):
[tex]g(-5)=-7 \times (-5)+9=35+9=44[/tex]
Donc les coordonnées du deuxième point d'intersection de f et g est (-5;44).
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