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Bonjour, merci

Exercice 1
Dans un repère orthonormé, placer les points ci-dessous :
A(-4;1); B(8;5); C(5;-2) et D(-7;-6)

1) Calculer les coordonnées du point m tel que vecteur AM = vecteur 2MC . Placer le point M

2) Montrer que ABCD est un parallélogramme
3) Calculer les coordonnées du milieu E du segment [CD]
4) Montrer que les points E,M et b sont alignés.
5) P est un point d'ordonnée 4.
Sachant que les droites (DP) et (BE) sont parallèles, calculer l'abscisse de P.

Sagot :

Réponse :

1) calculer les coordonnées du point M tel que vec(AM) = 2vec(MC)

    soit M(x ; y)

vec(AM) = (x + 4 ; y - 1)

vec(MC) = (5 - x ; - 2 - y) ⇒ 2 *vec(MC) = (2(5 - x) ; 2(- 2 - y))

                                                            = (10 - 2 x ; - 4 - 2 y)

  donc  (x + 4 ; y - 1) = (10 - 2 x ; - 4 - 2 y)

⇔ x + 4 = 10 - 2 x  ⇔ 3 x = 6  ⇔ x = 6/3 = 2

     y - 1 = - 4 - 2 y  ⇔ 3 y = - 3  ⇔ y = - 1

les coordonnées de M sont :  M(2 ; - 1)

2) montrer que ABCD est un parallélogramme

 il suffit de montrer que les diagonales AC et BD ont le même milieu

milieu de (AC) : ((5- 4)/2 ; (- 2+1)/2) = (1/2 ; - 1/2)

 //       de (BD) : ((-7+8)/2 ; (- 6+5)/2) = (1/2 ; - 1/2)

les diagonales AC et BD ont le même mileu donc ABCD est un parallélogramme

3) calculer les coordonnées du milieu E du segment (CD)

    E milieu du segment (CD) ⇒ E((-7+5)/2 ; (-6-2)/2) =E(- 1 ; - 4)

4) montrer que les points E , M et B sont alignés

    il faut montrer que les vecteurs EM et MB sont colinéaires

      ssi x'y-y"x = 0  

vec(EM) = (2+1 ; - 1+4) = (3 ; 3)

vec(MB) = (8 - 2 ; 5 + 1) = (6 ; 6)

   6*3 - 6*3 = 0   les vecteurs EM et MB sont colinéaires, donc on en déduit que les points E ; M et B sont alignés

5) P est un point d'ordonnée 4, sachant que les droites (DP) et (BE) sont //

calculer l'abscisse du point P

on peut écrire donc que les vecteurs DP et BE sont colinéaires

 P(x ; 4)

vec(DP) = (x + 7 ; 4+6) = (x+7 ; 10)

vec(BE) = (- 1 - 8 ; - 4 - 5) = (- 9 ; - 9)

X'Y - Y'X = 0  ⇔ (x+7)*(-9) - 10*(-9) = 0  ⇔ - 9 x - 63 + 90 = 0  

⇔ - 9 x + 27 = 0  ⇔ x = 27/9 = 3

donc l'abscisse du point P est : 3    donc P(3 ; 4)

Explications étape par étape

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