Réponse : Bonjour,
1) L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe Cf, et on voit que pour x très petit, la courbe tend vers -∞.
Donc la limite de f en 0 est -∞.
2) f'(1) est égal au coefficient directeur de la tangente T à f au point d'abscisse 1.
Graphiquement, on voit que cette tangente T passe par les points (1;3) et (2;2). Donc:
[tex]f'(1)=\frac{2-3}{2-1}=-1[/tex]
3) Une primitive F de f sur [0;4], vérifie F'=f.
On dérive donc chacune des propositions, on commence par [tex]F(x)=-x^{2}+\ln x+5x[/tex], on a:
[tex]F'(x)=-2x+\frac{1}{x}+5[/tex].
Donc [tex]F'(x) \ne f(x)[/tex], donc cette fonction n'est pas une primitive de f.
On dérive [tex]F(x)=-x^{2}+x\ln x+4x+4[/tex]:
[tex]F'(x)=-2x+\ln x+\frac{1}{x}x+4=-2x+\ln x+1+4=-2x+\ln x+5[/tex]
F'(x)=f(x), donc [tex]F(x)=-x^{2}+x\ln x+4x+4[/tex] est une primitive de f sur [0;4]
