Réponse : Bonjour,
a) D'après une formule du produit scalaire:
[tex]\displaystyle \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(AB^{2}+AC^{2}-BC^{2})=\frac{1}{2}(2AC^{2}-BC^{2})=AC^{2}-\frac{1}{2}BC^{2}[/tex]
Comme le triangle ABC est isocèle en A, alors la hauteur issue de A, passe par le milieu D de [BC].
Dans le triangle, ADC rectangle en D, le théorème de Pythagore, nous dit que:
[tex]AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}[/tex]
On a donc:
[tex]\displaystyle \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AD^{2}+DC^{2}-\frac{1}{2}BC^{2}[/tex]
Or BC=2DC, donc:
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AD^{2}+DC^{2}-\frac{1}{2}(2DC)^{2}=AD^{2}+DC^{2}-\frac{1}{2}4DC^{2}\\=AD^{2}+DC^{2}-2DC^{2}=AD^{2}-DC^{2}[/tex]
b) Dans le triangle ADB rectangle en D, le théorème de Pythagore nous dit que:
[tex]AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}\\AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}[/tex]
De plus, BD=DC, alors:
[tex]AD^{2}=AB^{2}-DC^{2}[/tex]
Donc:
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AD^{2}-DC^{2}=AB^{2}-DC^{2}-DC^{2}=AB^{2}-2DC^{2}[/tex]
c) D'après une formule du produit scalaire:
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})[/tex]
On a que AB=AC=3.
BC=4, donc DC=2.
On a donc que:
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB^{2}-2DC^{2}=3^{2}-2 \times 2^{2}=9-2 \times 4=9-8=1[/tex]
Finalement:
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})=1\\3 \times 3 \times \cos(\widehat{BAC})=1\\\cos(\widehat{BAC})=\frac{1}{9}\\\widehat{BAC}=\cos^{-1}(\frac{1}{9}) \approx 84 \°[/tex]
