Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape
2) a = 1 et b = [tex]e^{i\frac{\pi }{4} }[/tex] = cos([tex]\frac{\pi }{4}[/tex]) + i sin([tex]\frac{\pi }{4}[/tex]) = [tex]\frac{\sqrt{2} }{2}+i\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]
c milieu de [AB], donc c = (a+b)/2
⇔ c = [tex]\frac{1+\frac{\sqrt{2} }{2}+i\frac{\sqrt{2} }{2} }{2}[/tex] = [tex]\frac{2+\sqrt{2} }{4}+i\frac{\sqrt{2} }{4}[/tex]
a) Module de a = 1 donc OA = 1
Module de b = [tex]\sqrt{(\frac{\sqrt{2} }{2}) ^{2}+(\frac{\sqrt{2} }{2} )^{2} }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} }[/tex]= 1
Donc OB = 1
⇔ OA = OB = 1 donc le triangle OAB est isocèle en O
arg(b) = [tex]\frac{\pi }{4}[/tex]
OAC est isocèle, donc la médiane OC est aussi la bissectrice de (OA ; OB)
donc (u ; OC) = [tex]\frac{\frac{\pi }{4} }{2}[/tex] = [tex]\frac{\pi }{8}[/tex]
b) module de c = [tex]\sqrt{(\frac{2+\sqrt{2} }{4}) ^{2} +(\frac{\sqrt{2} }{4}) ^{2} }[/tex] = [tex]\sqrt{\frac{4+4\sqrt{2}+2+2 }{16} }[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}[/tex]
On a vu que arg(c) = [tex]\frac{\pi }{8}[/tex] donc c = [tex]\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}[/tex](cos([tex]\frac{\pi }{8})+isin(\frac{\pi }{8})[/tex]
3) c = [tex]\frac{2+\sqrt{2} }{4}+i\frac{\sqrt{2} }{4}[/tex] = [tex]\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}[/tex]( [tex]\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}[/tex] + i ([tex]\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}[/tex]))
et c = [tex]\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}[/tex](cos([tex]\frac{\pi }{8}[/tex]) + i sin([tex]\frac{\pi }{8}[/tex])
donc cos([tex]\frac{\pi }{8}[/tex]) = [tex]\frac{\sqrt{2+\sqrt{2} } }{2}[/tex] et sin([tex]\frac{\sqrt{2-\sqrt{2} } }{2}[/tex])
