Bonsoir,
Exercice 1 :
1.a. u2 = ( 2*u1 + 3 ) / ( u1 + 4 ) = (2*2+3)/(2+4) = 7/6.
u3 = ( 2*u2 + 3 ) / ( u2 + 4 ) = (2*7/6+3)/(7/6+4) = (2*7+18)/(7+24) = 32/31.
1.b. Si u était arithmétique, on aurait u2=x+u1 et u3=x+u2, mais alors x=u2-u1=u3-u2. Comme u2-u1≠u3-u2, ce n'est pas possible.
Si u était géométrique, on aurait de la même façon u3/u2=u2/u1. Ce n'est pas le cas.
Donc u n'est ni arithmétique ni géométrique.
2.a. [tex]u_{n+1}=\frac{2u_n+3}{u_n+4}=\frac{2(u_n+4)-8+3}{u_n+4}=2-\frac{5}{u_n+4}[/tex]
2.b. Si uₙ>1, alors uₙ+4>5 donc 5/(uₙ+4)<1 donc -5/(uₙ+4)>-1 donc uₙ₊₁>2-1=1.
3.a. On calcule vₙ₊₁/vₙ :
[tex]\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+3} \times \frac{u_n+3}{u_n-1} = \frac{\frac{2u_n+3}{u_n+4}-1}{\frac{2u_n+3}{u_n+4}+3}\times \frac{u_n+3}{u_n-1} = \frac{\frac{2u_n+3-u_n-4}{u_n+4}}{\frac{2u_n+3+3u_n+12}{u_n+4}}\times \frac{u_n+3}{u_n-1}[/tex]
[tex]= \frac{2u_n+3-u_n-4}{2u_n+3+3u_n+12}\times\frac{u_n+3}{u_n-1} = \frac{u_n-1}{5u_n+15}\times\frac{u_n+3}{u_n-1}=\frac{1}{5}\times\frac{u_n-1}{u_n+3}\times\frac{u_n+3}{u_n-1}\\=\frac{1}{5}[/tex]
D'où vₙ₊₁=vₙ/5 donc v est géométrique de raison 1/5.
3.b. Ainsi, vₙ = v₁/5ⁿ⁻¹ = (1/5)/5ⁿ⁻¹ = 5⁻ⁿ = (1/5)ⁿ.
Ensuite vₙ=(uₙ-1)/(uₙ+3) => vₙ(uₙ+3)=uₙ-1 => uₙ(vₙ-1)=-1-3vₙ
=> uₙ = - (1+3vₙ)/(vₙ-1)
donc uₙ = -(1+3×5⁻ⁿ)/(5⁻ⁿ-1).
3.c. Quand n tend vers l'infini, puisque 5⁻ⁿ tend vers 0, on voit que uₙ tend vers 1.
3.d. Sₙ = (1/5)¹+(1/5)²+...+(1/5)ⁿ = ((1/5)¹-(1/5)ⁿ⁺¹)/(1-(1/5)) = (1-(1/5)ⁿ)/(5-1)
= 1/4 * (1-(1/5)ⁿ).
3.e. Je n'ai pas réussi pour le moment, je vais chercher ça quand j'aurais le temps... :/
Exercice 2 :
1. P(1) = 1 + 2 + 2 - 2 - 3 = 0
P(-1) = 1 - 2 + 2 + 2 - 3 = 0
2. P(x)=(x-1)(x+1)(x²+ax+b)
car P(1)=0 et P(-1)=0 et que P est de degré 4.
On cherche a et b :
P(x) = (x-1)(x+1)(x²+ax+b) = (x²-1)(x²+ax+b) = x⁴ + ax³ + bx² - x² - ax - b
Donc a = 2 et b = 3 :
P(x)=(x-1)(x+1)(x²+2x+3).
Le discriminant de x²+2x+3 est négatif (il vaut 2*2-4*3 = -8) donc on ne peut pas plus factoriser.
3. Soit n un entier positif non nul. P(n)=(n-1)(n+1)(n²+2n+3).
- Si n est divisible par 3, alors n² l'est et 2n l'est, donc n²+2n+3 l'est, donc P(n) est divisible par 3.
- Si n+1 est divisible par 3, alors P(n) est divisible par 3.
- Sinon, on a forcément n-1 divisible par 3, donc P(n) est encore divisible par 3.
N'hésite pas si tu as des questions !
