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Bonjour, j’ai besoin d’un petit coup de pouce pour cet exercice qui se trouve dans mon dm de maths

On veut démontrer que la différence entre le carré de 2 entiers consécutifs est égale à
la somme du double du plus petit et de un.
1. Tester cette phrase pour
a) 5 et 6 b) 140 et 141
2. Ecrire cette phrase en calcul littéral.
3. La démontrer

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape

Bonjour. Et bien commençons par faire le 1/

a/ 5 et 6.

Selon l'énoncé il faut calculer la différence de ses deux nombres en les élevant d'abord au carré.

On a donc 6²-5² soit 6*6 - 5*5 = 36-25 = 11.

Ensuite on nous dit de prendre le nombre le plus petit 5. On doit calculer son double et y ajouter 1. On a donc 5*2 + 1 = 11.

Cela semble fonctionner car nous trouvons 11 dans les 2 cas.

b/ 140 et 141

De la même manière on pose 141²-140²

Ici on peut utiliser la calculatrice et on trouve 281.

Maintenant on prend le double de 140 et on y ajoute 1

140*2 + 1 = 281

On trouve 281 dans les 2 cas.

2/ Pour arriver à écrire cette phrase en calcul littéral, il faut changer

le nombre de départ .. Et au lieu de prendre un nombre entier on va prendre x comme expression.

Si x est le nombre de départ x+1 sera le nombre qui le suit

Tout comme si 5 était le nombre de départ le nombre 5+1 = 6 le suit.

Il faut donc poser la différence des nombres x et x+1 en les élevant au carré.

On a donc (x+1)²-x²

Exactement comme dans les deux cas (5+1)²-5² ou 6²-5²

Ensuite on nous demande de comparer ce nombre à une autre expression.

En effet on doit prendre le double du plus petit et y ajouter 1.

Le nombre le plus petit est x ici ..

Le double de x est 2 fois x donc 2x et on y ajoute 1

On a donc 2x+1

Vu que l'on doit comparer nous devrons vérifier en 3 si l'égalité suivante est vraie ..

(x+1)²-x² =? 2x+1

3/ Nous devons donc faire la démonstration pour cela nous devons simplement développer la partie de gauche.

(x+1)² = ? -> On laisse -x² de côté pour calculer l'expression la moins évidente.

(x+1)(x+1)

[x²+x+x+1]-x²  -> On oublie pas le -x² que l'on avait laissé de côté

[x²+2x+1]-x²

x²+2x+1-x²

x²-x² + 2x+1

2x+1 ( Note :  il est possible de faire plus simplement pour le calcul )

Nous avons donc démontrer que l'expression est vraie pour tout nombre venant à remplacer x.