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Sagot :
Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Dans le triangle OMP rectangle en P , d'après le théorème de Pythagore, on a OM² = OP² + MP²
donc MP² = OM² - OP² = 1 -x²
MP = √(1-x²)
Donc A(x) = x√(1-x²)
A'(x) = √(1-x²) - x²/√(1-x²) = (1-2x²)/√(1-x²)
Le signe de la dérivée ne dépend que de 1-2x², puisque le dénominateur est positif
1-2x² s'annule pour x = √2/2
donc A'(x) est positive sur [0 ;√2/2] et négative sur [√2/2 ; 1]
Donc A(x) est croissante sur [0 ; √2/2] et décroissante sur [√2/2 ; 1]
L'aire maximum de OPMQ est atteinte pour OP = √2/2
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