Réponse: Bonjour,
1) Le taux de variation de f en a=-[tex]\displaystyle \frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{(-2+h)^{2}-3(-2+h)+7-((-2)^{2}-3 \times (-2)+7)}{h}\\=\frac{4-4h+h^{2}+6-3h+7-(4+6+7)}{h}=\frac{h^{2}-7h+17-17}{h}=\frac{h^{2}-7h}{h}\\=\frac{h(h-7)}{h}=h-7[/tex]
On est maintenant en mesure de calculer f'(-2):
[tex]f'(-2)=\lim_{h \mapsto 0} h-7=-7[/tex]
La limite quand h tend vers 0, du taux de variation en a=-2, est une limite finie, donc f est dérivable en -2, et f'(-2)=-7.
2) Plus généralement, pour [tex]a \in \mathbb{R}[/tex], le taux de variation de f en a est:
[tex]\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{(a+h)^{2}-3(a+h)+7-(a^{2}-3a+7)}{h}\\=\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-3a-3h+7-a^{2}+3a-7}{h}=\frac{h^{2}+h(2a-3)}{h}\\=\frac{h(h+2a-3)}{h}=h+2a-3[/tex]
On calcule maintenant f'(a), pour tout [tex]a \in \mathbb{R}[/tex]:
[tex]\displaystyle f'(a)=\lim_{h \mapsto 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h \mapsto 0} h+2a-3=2a-3[/tex]
a étant un nombre fini, on en déduit que pour tout [tex]a \in \mathbb{R}[/tex], la limite quand h tend vers 0, du taux de variation de f en a, est une limite finie, donc f est dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex], et f'(a)=2a-3.
Pour retrouver le résultat de la question précédente, on calcule f'(-2):
[tex]f'(-2)=2 \times (-2)-3=-4-3=-7[/tex].
On retrouve donc le résultat de la question précédente.
