Réponse :
Explications étape par étape
Soit f la fonction définie sur R par [tex]f(x)=ax^{2} +bx+c[/tex] et P sa courbe représentative
1 a)
f est dérivable sur R comme fonction polynôme. Donc
[tex]f'(x)=2ax+b[/tex]
b)
P coupe l'axe des abscisse au point A d'abscisse 3 donc [tex]f(3)=0[/tex]
Or [tex]f(3)=a*3^{2} +b*3+c=9a+3b+c[/tex]
Donc [tex]9a+3b+c =0[/tex] (relation 1)
P coupe l'axe des ordonnées au point B d'ordonnée 2 donc [tex]f(0)=2[/tex]
or [tex]f(0)=a*0^{2} +b*0+c=c[/tex]
Donc c=2
P admet pour tangente en B la droite d'équation y=2x+2
Or la tangente a pour coefficient directeur le nombre dérivé
et puisque y=2x+2 a pour coefficient directeur 2 et [tex]x_{B}=0[/tex]
Donc [tex]f'(0)=2[/tex]
Or [tex]f'(0)=2*0+b=b[/tex]
Donc b=2
En remplaçant b et c par leur valeur dans la relation 1
[tex]9a+3*2+2=0 <=> 9a+8=0 <=> a = -\frac{8}{9}[/tex]
c)
La fonction a pour expression [tex]f(x)=-\frac{8}{9} x^{2} +2x+2[/tex]
2) f est une fonction polynome du second degré. Son maximum est obtenu pour [tex]x=\alpha =-\frac{b}{2a} =-\frac{2}{2*(-\frac{8}{9})}=\frac{9}{8}[/tex]
Or la parabole P admet la droite d'équation [tex]x=\alpha =\frac{9}{8}[/tex] comme axe de symétrie
Donc [tex]x=\frac{9}{8}[/tex] est au milieu de [tex]x_{A} =3[/tex] et [tex]x_{C}[/tex] avec C autre point d'intersection de P avec l'axe des abscisses.
Donc [tex]\frac{x_{A}+x_{C} }{2} =\frac{9}{8} <=> x_{C} = (2*\frac{9}{8})- 3=\frac{9}{4}-3=-\frac{3}{4}[/tex]
On aurait pu également résoudre l'équation
[tex]-\frac{8}{9} x^{2} +2x+2 = 0 <=> -4x^{2} +9x+9=0[/tex] (en multipliant les 2 membres de l'équation par 9 puis en divisant les 2 membres par 2)
Ou [tex]4x^{2} -9x-9=0[/tex] (en multipliant les 2 membres par -1)
Δ=[tex]9^{2} + 4*9*4=81+144=225>0[/tex]
Il y a 2 racines
[tex]x_{1} = \frac{9-\sqrt{225} }{8} =\frac{9-15}{8} =-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4} \\x_{2} = \frac{9+\sqrt{225} }{8} =\frac{9+15}{8}=3[/tex]
