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Bonsoir, j'ai besoin de votre aide pour un exercice particulièrement difficile est embêtant.
L'énoncé :
ABCD est un carré, DCE et BCF sont des triangles équilatéraux. On se place dans le repère (A,B,D) orthonormé.
1)Déterminer les coordonnées des points E et F.
2)Montrer que les points A,E,F sont alignés
Voici la construction

Bonsoir Jai Besoin De Votre Aide Pour Un Exercice Particulièrement Difficile Est Embêtant Lénoncé ABCD Est Un Carré DCE Et BCF Sont Des Triangles Équilatéraux O class=

Sagot :

olivierronat

Réponse :

Explications étape par étape

1)

ABCD est un carré et DCE est un triangle équilateral. Soit H le milieu de [DC]

[HE] est une médiane mais aussi une hauteur de DCE. Donc l'abscisse de E est [tex]x_{E} =AB/2 =1/2[/tex]

Soit E' la projection orthogonale de E sur (AD). Le triangle EDE' est rectangle en E'. Or dans un triangle équilatéral tous les angles font 60° do,c EDC = 60° et E'DE=ADE=90-60=30°

Dans le triangle AE'E rectangle en E' on a

[tex]tan(E'DE)=\frac{EE'}{E'D} =\frac{\frac{AB}{2} }{E'D} =\frac{AB}{2E'D}[/tex]

donc [tex]E'D = \frac{AB}{2 tan(E'DE)} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3} } } =\sqrt{3} /2[/tex]

Comme E' ∈ [AD] = AE'=AD-E'D = [tex]1-\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]

Donc [tex]E(1/2;1-\frac{\sqrt{3} }{2} )[/tex]

pour F on montre de même que [tex]y_{H} =\frac{BC}{2} =\frac{1}{2}[/tex]

Soit F' le projeté orthogonal sur (AB). Le triangle BFF' est rectangle en F' et l'angle FBF' fait encore 30° (même raisonnement que précédemment)

on a [tex]tan(30°)=\frac{FF'}{BF'}[/tex]

donc [tex]BF' = \frac{FF'}{tan(30°)}= \frac{\frac{BC}{2} }{\frac{1}{\sqrt{3} } } = \frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]

Comme B ∈[AF"] AF' = AB +BF' = [tex]1+\frac{\sqrt{3} }{2}[/tex]

Donc [tex]F(1+\frac{\sqrt{3} }{2} ;\frac{1}{2} )[/tex]

2.

On a  Vecteur(AE) et Vecteur(AF) qui ont les mêmes coordonnées que les points E et F

En faisant les produits en croix

on a det(AE,AF)= [tex]\frac{1}{2} *\frac{1}{2} - (1-\frac{\sqrt{3} }{2} )(1+\frac{\sqrt{3} }{2} )=\frac{1}{4} -(1^{2} -(\frac{\sqrt{3} }{2}) ^{2} )=\frac{1}{4} -1 +\frac{3}{4} =0[/tex]

Les vecteurs sont colinéaires donc les points A,E,F sont alignés

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