Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
Soit ABCD un polygone à 4 côtés, comptons les diagonales.
De A partent les droites vers B, vers C, vers D: 3
mais vers B et vers D ne sont pas des digonales ==> 3-2=1
De B partent les droites vers C et D (pas vers A car déjà compté)
mais vers C n'est pas une diagonale : 2-1=1
De C tout est déjà dessiné.: 0
Nombre de diagonales = 1+1=2
Soit A1 A2 A3 A4 A5 A6 .... A120 un polygone à 120 côtés
(donc 120 sommets).
De A1 partent 119 -2 =117 diagonales
De A2 partent 118 - 1 =117 diagonales
De A3 partent 117 - 1= 116 diagonales
De A4 : 115
De A5: 114
....
De A117 : 2 diagonale (vers A 119 , A120)
De A118: 1 diagonale (vers A120)
De A119: 0
De A120: 0
Nombre de diagonales :
[tex]117+117+116+115+114+...+2+1=117+(1+2+3+4+...+117)\\\\=117+\dfrac{117*118}{2} \\\\=117(1+\dfrac{118}{2} )\\\\=117(\dfrac{2+118}{2} )\\\\=\dfrac{117*120}{2} \\\\=\dfrac{(120-3)*120}{2} \\\\\\[/tex]
Pour un polygone à n côtés:
[tex]\\\boxed{nb=\dfrac{n*(n-3)}{2}}\\[/tex]
Ainsi
pour un pentagone (n=5), nb= 5*2/2=5 diagonales
pour un octogone (n=8), nb= 8*5/2=20 diagonales
