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Sagot :
Réponse : Bonjour,
1)
[tex]P(X < 1)=\int_{0}^{1} -\frac{2}{9}x^{2}+\frac{2}{3}x \; dx=-\frac{2}{9}[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}+\frac{2}{3}[\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}=-\frac{2}{9} \times \frac{1}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}=-\frac{2}{27}+\frac{1}{3}\\=\frac{-2+9}{27}=\frac{7}{27} \approx 0,259[/tex]
2)
[tex]P(1 < X < 2)=\int_{1}^{2} -\frac{2}{9}x^{2}+\frac{2}{3}x \; dx=-\frac{2}{9}[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}+\frac{2}{3}[\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}=-\frac{2}{9}(\frac{8}{3}-\frac{1}{3})+\frac{2}{3}(\frac{4}{2}-\frac{1}{2})\\=-\frac{2}{9} \times \frac{7}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}=-\frac{14}{27}+1=\frac{-14+27}{27}=\frac{13}{27} \approx 0,481[/tex]
3)
[tex]P(X > 2,5)=1-P(X \leq 2,5)\\P(X \leq 2,5)=\int_{0}^{2,5} -\frac{2}{9}x^{2}+\frac{2}{3}x \; dx=-\frac{2}{9}[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2,5}+\frac{2}{3}[\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2,5}=-\frac{2}{9} \times \frac{2,5^{3}}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{2,5^{2}}{2}\\=-\frac{2}{9} \times \frac{15,625}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{6,25}{2}=\frac{-2 \times 2 \times 2,5^{3}+2 \times 9 \times 2,5^{2}}{54}=\frac{2,5^{2}(-2 \times 2 \times 2,5+2 \times 9)}{54}=\frac{2,5^{2} \times 8}{54}\\=\frac{50}{54}[/tex]
[tex]P(X \leq 2,5)=\frac{50}{54}=\frac{25}{27}[/tex]
Donc:
[tex]P(X > 2,5)=1-P(X \leq 2,5)=1-\frac{25}{27}=\frac{27-25}{27}=\frac{2}{27} \approx 0,074[/tex]
4)
[tex]m=\int_{0}^{3} x f(x) \: dx=\int_{0}^{3} x(-\frac{2}{9}x^{2}+\frac{2}{3}x) \; dx=\int_{0}^{3} -\frac{2}{9}x^{3}+\frac{2}{3}x^{2} \; dx=-\frac{2}{9}[\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}+\frac{2}{3}[\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}\\=-\frac{2}{9} \times \frac{3^{4}}{4}+\frac{2}{3} \times \frac{3^{3}}{3}=-\frac{3^{2}}{2}+\frac{2 \times 3^{2}}{3}=-\frac{9}{2}+2 \times 3=-\frac{9}{2}+6=\frac{-9+12}{2}=\frac{3}{2}=1,5[/tex]
La durée de vie moyenne d'un composant électronique est donc de 1 an et demi.
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