Réponse :
Explications étape par étape
1) résolution de (x+1)/(2x-3)=1 sachant que x>3/2
x+1=2x-3 solution x=4
si x =4, f(x)=ln1=0
La courbe représentative de f(x) coupe l'axe des abscisses au point (4;0)
2) dérivée f(x) est de la forme ln u(x) sa dérivée est u'/u
avec u'= dérivée d'un quotient ce qui donne [1*(2x-3)-2(x+1)]/(2x-3)²
=-5/(2x-3)²
f'(x)=[-5/(2x-3)²]*(2x-3)/(x+1)= -5/(2x-3)(x+1) réponse donnée dans l'énoncé.
3) x étant >3/2, (2x-3) est>0 (x+1) est>0 donc f'(x) est toujours <0.
4) limite en 1,5+
si x tend vers 1,5+, x+1 tend vers 2,5 et (2x-3) tend vers 0+ donc f(x) tend vers +oo.
la droite d'équation x=1,5 est une asymptote verticale
5) limite en +oo
si x tend vers +oo (x+1)/(2x-3) tend vers 1/2 rapport des coefficients de plus haut degré, donc f(x) tend vers ln(1/2) soit -ln2
la droite d'équation y=-ln2 est une asymptote horizontale.
6) tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 1,5 4 +oo
f'(x).................-................................-....................
f(x) II+oo.....décroi.........0..........décroi............-ln2
