Réponse :
Je te conseille de travailler avec un repère (orthonormé car c'est plus facile pour visualiser) ceci pour vérifier tes calculs.
Explications étape par étape
1)ABDC est un parallélogramme si vecBA=vecCD donc si D est l'image de C par translation de vecBA
Coordonnées de vecBA xBA=xA-xB=-2-5=-7 et yBA=yA-yB=2-6=-4
vecBA(-7; -4)
xD=xC+xBA=4-7=-3 et yD=yC+yBA=1-4=-3 D(-3; -3)
2)vecEC=(1/3)vecAC ou vecCE=(1/3)vecCA
donc E est l'image de C par translation de vecteur (1/3)vecCA
coordonnées du vecCA: xCA=xA-xC=-2-4=-6 et yCA=yA-yC=2-1=1
vecCA(-6; 1)
coordonnées de E: xE=xC+(1/3)xCA=4-2=2
et yE=yC+(1/3)yCA=1+1/3=4/3 E(2; 4/3)
3) si I est le milieu de CD alors xI=(xD+xC)/2=(-3+4)/2=1/2
et yI=(yD+yC)/2=(-3+1)/2=-1 I(1/2; -1)
4) les points I, E et B sont alignés si vecIB=k*vecIE
coordonnées de vecIE: xIE=2-1/2=3/2 et yIE=4/3+1=7/3 vec IE (3/2; 7/3)
coordonnées de vecIB: xIB=5-1/2=9/2 et yIB=6+7=7 vec IB (9/2; 7)
On note que vecIB=3*vecIE ; les points I, E et B sont donc alignés.
5) J milieu de [AB] coordonnées de J :
xJ=(xB+xA)/2=(5-2)/2=3/2 et yJ=(yB+yA)/2=(6+2)/2=4 J(3/2; 4)
6) Les droites (DJ) et (IB) sont // si les vecDJ et vecIB sont colinéaires donc si vecDJ=k*vecIB
On connaît vecIB (9/2;7), calculons les coordonnées de vecDJ
xDJ=xJ-xD=3/2+3=3/2+6/2=9/2 et yDJ=yJ-yD=4+3=7 vecDJ(9/2; 7)
on note que les vec DJ et vecIB sont égaux par conséquent les droites (DJ) et (IB) sont // et on peut même dire que le quadrilatère DJBI est un parallélogramme.
