Réponse :
1) a) calculer le périmètre P de PAS en fonction de x
P = 3 x + 3 + 4 x + 4 + 5 x + 5 = 12 x + 12
b) calculer P pour x = 2
P = 12*2 + 12 = 36 m
2) montrer que PAS est un triangle rectangle en P
d'après la réciproque du th.Pythagore on a ; AP²+PS² = (3 x + 3)²+(4 x + 4)² = 9 x²+18 x + 9 + 16 x²+32 x + 16 = 25 x² + 50 x + 25
AS² = (5 x + 5)² = 25 x² + 50 x + 25
or AP²+PS² = AS² donc d'après la réciproque du th.Pythagore, le triangle PAS est rectangle en P
3) a) exprimer l'aire A du triangle PAS en fonction de x
A = 1/2)(3 x + 3)*(4 x + 4)
b) développer et réduire A
A = 1/2)(3 x + 3)*(4 x + 4) = 6 x² + 12 x + 6
c) calculer A pour x = 2
A = 6*2²+ 12*2 + 6 = 54 m²
Explications étape par étape
Réponse :
1. a. P= PA + AS + PS
= 3x + 3 + 5x + 5 + 4x +4
= 3x + 4x + 5x + 3 + 4 + 5
= 12x + 12
b. Si x=2 alors
P= 12 X 2 + 12
= 24 + 12
= 36
2. On utilise la réciproque du théorème de Pytagore.
"Dans un triangle si le carré de l'hypothènuse est égal à la somme des carrés des 2 autres cotés, alors le triangle est rectangle.
AS = 5x + 5
AS² = ( 5x + 5)²
= 25x² + 25 + 2 X 5x X 5
= 25x² + 50x + 25
PA= 3x + 3
PA²= (3x + 3)²
= 9x² + 9 + 2 X 3x X 3
= 9x² + 18x + 9
PS = 4x + 4
PS²= (4x + 4)²
= 16x² + 16 + 2 X 4x X 4
= 16² + 32x + 16
PS² + PA² = 16x² + 9x² + 18x + 32x + 16 + 9
= 25x² + 50x + 25 = AS²
Donc
AS² = PS² + PA²
Selon la réciproque de Pytagore, le triangle PAS est rectangle en P.
3. a. Dans un triangle rectangle, l'aire est égale au produit des longueurs du coté adjacent et du coté opposé, le tout divisé par 2.
A = PA X PS /2
= (3x + 3) x (4x + 4) /2
b. A = (12x² + 12 x + 12x + 12) / 2
= (12x² + 24x + 12) / 2
= 6x² + 12x + 6
c. Si x = 2, alors A= 6 X 2² + 12 X 2 + 6
A = 6 X 4 + 24 + 6
A = 24 + 30
A = 54 m²