Réponse : Bonjour,
1) Dans le triangle BB'C rectangle en B', d'après le théorème de Pythagore:
[tex]BC^{2}=BB'^{2}+B'C^{2}\\a^{2}=h^{2}+B'C^{2}\\ a=\sqrt{h^{2}+B'C^{2}}[/tex]
2) Dans le triangle BB'A rectangle en B', toujours avec le théorème de Pythagore:
[tex]AB^{2}=BB'^{2}+AB'^{2}\\c^{2}=h^{2}+AB'^{2}\\h^{2}=c^{2}-AB'^{2}\\h=\sqrt{c^{2}-AB'^{2}}[/tex]
3) D'après la question 1), [tex]a^{2}=h^{2}+B'C^{2}[/tex], et la question 2), [tex]h^{2}=c^{2}-AB'^{2}[/tex]:
[tex]a^{2}=h^{2}+B'C^{2}\\a^{2}=c^{2}-AB'^{2}+B'C^{2}[/tex]
De plus, comme [tex]B'C=AC-AB'[/tex], donc:
[tex]a^{2}=c^{2}-AB'^{2}+(AC-AB')^{2}\\a^{2}=c^{2}-AB'^{2}+AC^{2}-2 \times AC \times AB'+AB'^{2}\\a^{2}=b^{2}+c^{2}-2AB' \times AC[/tex]
4) Dans le triangle AB'B rectangle en B':
[tex]\cos(\widehat{A})=\frac{AB'}{AB}\\AB'=AB \times \cos(\widehat{A})=c \times \cos(\widehat{A})[/tex]
On a donc:
[tex]a^{2}=b^{2}+c^{2}-2c\cos(\widehat{A}) \times b\\a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\widehat{A})[/tex]
Et le théorème d'Al-Kashi est démontrée.