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Bonjour je suis en TES j’aurais besoin de votre aide pour calculer en détail la dérivée seconde de cette fonction:
f’(x)=e^-x/((1+e^-x)^2).
Je n’y arrive vraiment pas ce serait vraiment gentil. merci d’avance pour votre aide.

Sagot :

Réponse :

Calculer en détail la dérivée seconde de cette fonction

f '(x) = e⁻ˣ/(1+e⁻ˣ)²

(u/v) ' = (u'v - v'u)/v²

u = e⁻ˣ ⇒ u' = - e⁻ˣ

v = (1+e⁻ˣ)² = - 2e⁻ˣ(1+e⁻ˣ)

f " (x) = (- e⁻ˣ(1+e⁻ˣ)² - (- 2e⁻ˣ(1+e⁻ˣ))/(1+e⁻ˣ)⁴

        = ((1+ e⁻ˣ)(-e⁻ˣ(1+e⁻ˣ) + 2e⁻ˣ))/(1+e⁻ˣ)⁴

        = ((1+ e⁻ˣ)(-e⁻ˣ - e⁻²ˣ + 2e⁻ˣ))/(1+e⁻ˣ)⁴  

        = (1+ e⁻ˣ)(e⁻ˣ - e⁻²ˣ)/(1+e⁻ˣ)⁴  

        = (e⁻ˣ - e⁻²ˣ)/(1+e⁻ˣ)³

f '' (x) =(e⁻ˣ - e⁻²ˣ)/(1+e⁻ˣ)³    

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