Réponse :
montrer que pour tous x1 ; x2 ∈ [0 ; + ∞[ √x1 - √x2 = (x1 - x2)/(√x1+√x2)
√x1 - √x2 = (√x1 - √x2)(√x1 +√x2)/(√x1 + √x2)
= [(√x1)² - (√x2)²]/(√x1 + √x2) IR (a - b)(a+b) = a² - b²
= (x1 - x2)/(√x1 + √x2)
Montrer que la fonction f(x) = √x est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[
puis construire son tableau de variation
soit x1 > 0 et x2 > 0 tel que x1 < x2 , il faut montrer que f(x1) < f(x2)
⇔ f(x1) - f(x2) < 0 ⇔ √x1 - √x2 < 0 ⇔ on utilise le résultat de question 1)
et on a ; (x1 - x2)/(√x1 + √x2) < 0 or (√x1 + √x2) > 0 et x1 < x2 donc
f(x1) - f(x2) < 0 ⇔ f(x1) < f(x2) donc la fonction f est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[
Tableau de variation de f
x 0 + ∞
f(x) >0 →→→→→→→→→→→→→→ + ∞
croissante
3) en déduire que pour tout x < 1 , √x < 1 et que pour x > 1 , √x > 1
x < 1 ⇒ f(x) < f(1) puisque la √x est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[
⇔ √x < √1 ⇔ √x < 1
x > 1 ⇒ f(x) > f(1) puisque la √x est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[
donc √x > √1 donc √x > 1
Explications étape par étape
