Bonjour !
1 - Si x=0, alors la boîte est plate : son volume est 0.
Si x=20, alors il ne reste plus de matière après le découpage : le volume de la boîte est 0.
2 - Si x=5, la hauteur de la boîte vaut 5, et le côté du carré vaut 40 - 5 - 5 = 30 (on enlève le côté des deux petits carrés au côté initial).
Le volume de la boîte vaut donc 5 x 30 x 30 = 150. (hauteur x côté x côté) Donc f(5)=4500.
On a donc une boîte de 4500cm³.
3 - Pour un x quelconque entre 0 et 20, la hauteur de la boîte est x et le côté du carré est 40-2x (si tu ne comprends pas pourquoi, je l'ai expliqué pour x=5 dans la question 2, mais dis moi si tu veux que je te réexplique), donc comme le volume vaut hauteur x côté x côté, on a :
f(x) = x(40-2x)(40-2x) = x(1600-160x+4x²) = 4x³-160x²+1600.
4 - Sur le graphique, on voit que f est croissante entre 0 et 6,5 et est décroissante entre 6,5 et 20. Donc on a le tableau de variation :
x 0 6,5 20
f (fleche montante) (fleche descendante)
5 - On voit sur le graphique que f(x)≤2000 pour x≤1,5 ou pour x≥14. (tu peux tracer une droite horizontale qui passe par 2000 pour le voir, et il faut prendre les x tels que la courbe de f est en dessous de 2000)
Cela signifie que si x≤1,5cm ou si x≥14cm, le volume de la boîte est plus petit que 2000cm³.
6a - Si on veut que le volume de la boîte soit supérieur ou égal à 3500 cm³, il faut résoudre l'inéquation f(x)≥3500.
6b - Pour que f(x)≥3500, il faut à peu près que x∈[3,11]. (tu peux passer la droite horizontale qui passe par 3500 pour le voir, et il faut prendre les x tels que la courbe de f est au dessus de 3500)
7 - Graphiquement, le maximum de f est 4750, et il est atteint en 6,5. Cela signifie que la plus grosse boîte que l'on peut faire fera 4750 cm³, si on découpe des carrés de 6,5 cm de côté.
Si tu as besoin de plus de renseignements, n'hésite pas !
