Answered

Bienvenue sur Laurentvidal.fr, la meilleure plateforme de questions-réponses pour trouver des réponses précises et rapides à toutes vos questions. Explorez des milliers de questions et réponses fournies par une communauté d'experts prêts à vous aider à trouver des solutions. Expérimentez la commodité d'obtenir des réponses précises à vos questions grâce à une communauté dévouée de professionnels.

Bonjour, pourriez vous m'aider s'il vous plaît ! merci d'avance !!

Montrez que la suite récurrente (Un) définie par u0 = 1 et Un+1 = sqrt(2 + Un) est convergente et déterminez sa limite.

Sagot :

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

[tex]u_0=1\\u_{n+1}=\sqrt{2+u_n} \\[/tex]

1)

[tex]1\leq u_n\leq 2\\Initialisation:\\1\leq u_0\leq 2\\H\' er\' edit\' e:\\1\leq u_n\leq 2\\2+1\leq 2+u_n\leq 2+2\\\sqrt{3} \leq \sqrt{2+u_n} \leq \sqrt{4} \\1\leq \sqrt{3} \leq u_{n+1}\leq 2\\[/tex]

2)

[tex]u_n\leq u_{n+1}\\Initialisation:\\u_0\leq u_1\\1\leq \sqrt{3} \est\ vrai\\\\H\' er\' edit\' e:\\u_n\leq u_{n+1}\\2+u_n\leq 2+u_{n+1}\\\\\sqrt{2+u_n}\leq \sqrt{2+u_{n+1}}[/tex]

La suite est majorée par 2 et croissante, donc convergente.

Sa limite vaut 2

Soit x sa limite:

[tex]x=\sqrt{2+x} \\x²=2+x\\x²-x-2=0\\(x-2)(x+1)=0\\x=-1: impossible\\[/tex]

Merci de votre visite. Nous nous engageons à fournir les meilleures informations disponibles. Revenez quand vous voulez pour plus. Nous espérons que cela vous a été utile. Revenez quand vous voulez pour obtenir des réponses plus précises et des informations à jour. Laurentvidal.fr, votre site de confiance pour des réponses. N'oubliez pas de revenir pour plus d'informations.