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Bonjour, j'aimerais savoir comment justifier que la fonction carré est convexe R, que la fonction racine carrée est concave sur R, que la fonction cube et la fonction inverse sont concaves sur ]-infini,0] et convexe sur [0,+infini[. Mercii

Sagot :

Nepenthes

Réponse :

Pour ça tu peux utiliser les dérivées secondes, tu as de la chance parce que toutes ces fonctions sont de classe C infini sur leur ensemble de définition (sauf la fonction racine carrée qui est non dérivable en 0, mais ça ne pose pas de problème).

Du coup je te laisse calculer les dérivées secondes et montrer qu'elles sont positives (fonction convexe) ou négatives (fonction concave) sur l'intervalle qui va bien.

Exemple avec la fonction carrée, sa dérivée seconde vaut 2 partout sur R, donc elle est positive sur R, donc la fonction carrée est convexe sur R.

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