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Bonjour, j'ai un dm de maths et je bloque aux questions 2 et 3, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ! merciii

Bonjour Jai Un Dm De Maths Et Je Bloque Aux Questions 2 Et 3 Pourriezvous Maider Sil Vous Plaît Merciii class=

Sagot :

Réponse : Bonjour,

2) Soit un réel a appartenant à l'intervalle I, alors l'équation de la tangente [tex]T_{a}[/tex], à la courbe de f au point d'abscisse a est:

[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)=f'(a)x-af'(a)+f(a)=\tau(x)[/tex].

On a donc:

[tex]f(x)-\tau(x)=f(x)-f'(a)x+af'(a)-f(a)[/tex].

Etudions les variations de la fonction [tex]x \mapsto f(x)-\tau(x)[/tex].

Pour cela, on calcule sa dérivée:

[tex](f(x)-\tau(x))'=f'(x)-\tau(x)'=f'(x)-f'(a)[/tex]

Par hypothèse, la fonction f' est croissante sur I, donc pour tout [tex]x \leq a, f'(x)-f'(a) \leq 0[/tex], et pour tout [tex]x \geq a[/tex], [tex]f'(x)-f'(a) \geq 0[/tex].

On a donc le tableau de variations suivant:

x                                               a

(f(x)-τ(x))'               -                  Φ                        +

f(x)-τ(x)      (décroissant)                 (croissant)

Au vu du tableau précédent, le minimum de [tex]x \mapsto f(x)-\tau(x)[/tex], est atteint en x=a, et ce minimum vaut:

[tex]f(a)-\tau(a)=f(a)-f'(a)a+af'(a)-f(a)=0[/tex].

On en déduit que pour tout [tex]x \in I[/tex], [tex]f(x)-\tau(x) \geq 0[/tex], et donc que [tex]f(x) \geq \tau(x)[/tex].

Ce qui montre que f est au dessus de toutes ses tangentes.

3) C'est le même principe que la question précédente.

Etudions les variations de la fonction [tex]x \mapsto f(x)-\tau(x)[/tex].

Pour cela, on calcule sa dérivée:

[tex](f(x)-\tau(x))'=f'(x)-\tau(x)'=f'(x)-f'(a)[/tex]

Par hypothèse, la fonction f' est décroissante sur I, donc pour tout [tex]x \leq a, f'(x)-f'(a) \geq 0[/tex], et pour tout [tex]x \geq a[/tex], [tex]f'(x)-f'(a) \leq 0[/tex].

On a donc le tableau de variations suivant:

x                                               a

(f(x)-τ(x))'               +                 Φ                        -

f(x)-τ(x)           (croissant)                        (décroissant)

Au vu du tableau précédent, le maximum de [tex]x \mapsto f(x)-\tau(x)[/tex], est atteint en x=a, et ce maximum vaut:

[tex]f(a)-\tau(a)=f(a)-f'(a)a+af'(a)-f(a)=0[/tex].

On en déduit que pour tout [tex]x \in I[/tex], [tex]f(x)-\tau(x) \leq 0[/tex], et donc que [tex]f(x) \leq \tau(x)[/tex].

Ce qui montre que f est en dessous de toutes ses tangentes.