Réponse : Bonsoir,
1) [tex]C_{n+1}=C_{n}+(n+1)^{2}[/tex]
2)a) [tex]u_{1}=\frac{1(1+1)(2 \times 1+1)}{6}=\frac{1 \times 2 \times 3}{6}=\frac{6}{6}=1[/tex]
b) [tex]u_{n+1}=\frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+2+1)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}[/tex]
c)
[tex]u_{n+1}-u_{n}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)[(n+2)(2n+3)-(n(2n+1))]}{6} \\u_{n+1}-u_{n}=\frac{(n+1)[2n^{2}+3n+4n+6-2n^{2}-n]}{6}=\frac{(n+1)(6n+6)}{6}\\u_{n+1}-u_{n}=\frac{(n+1)(6(n+1))}{6}=(n+1)(n+1)=(n+1)^{2}[/tex]
d) De la question 1), on en déduit que [tex]C_{n+1}-C_{n}=(n+1)^{2}[/tex], donc les suites [tex](C_{n})[/tex] et [tex](u_{n})[/tex] suivent la même relation de récurrence, elles sont donc égales.
On en déduit donc que pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^{*}[/tex],
[tex]C_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
3) D'après ce qui précède, pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^{*}[/tex]:
[tex]C_{n}=1^{2}+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex].
Il s'agit donc ici de calculer:
[tex]C_{195}=1^{2}+2^{2}+...+195^{2}=\frac{195 \times 196 \times (2 \times 195+1)}{6}=\frac{195 \times 196 \times 391}{6}=2490670[/tex]
