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Bonjour je suis en premiere et je n'arrive pas a faire l'exercice 2 de mathématiques. Merci d'avance.

Bonjour Je Suis En Premiere Et Je Narrive Pas A Faire Lexercice 2 De Mathématiques Merci Davance class=

Sagot :

Réponse : Bonsoir,

1) On sait que pour une droite d'équation y=ax+b, alors son intersection avec l'axe des ordonnées, est égale à [tex]a \times 0+b=b[/tex].

IL s'agit de calculer l'ordonnée à l'origine [tex]b[/tex] de (AM).

Comme le point A appartient à (AM) alors:

[tex]y_{A}=\frac{-1}{x-1} \times x_{A}+b\\1=\frac{-1}{x-1}+b\\b=1+\frac{1}{x-1}=\frac{x-1+1}{x-1}=\frac{x}{x-1}[/tex]

Donc le point N a pour coordonnées [tex]N(0;\frac{x}{x-1})[/tex].

On est donc en mesure de calculer la distance ON:

[tex]ON=\sqrt{(0-0)^{2}+(\frac{x}{x-1}-0)^{2}}=\frac{x}{x-1}[/tex].

2) L'aire [tex]\mathcal{A}[/tex] du triangle OMN est:

[tex]\mathcal{A}=\frac{OM \times ON}{2}=\frac{x \times \frac{x}{x-1}}{2}=\frac{x^{2}}{2(x-1)}=\frac{x^{2}}{2x-2}[/tex]

3) Il faut étudier les variations de [tex]f(x)=\frac{x^{2}}{2x-2}[/tex].

Pour cela, on calcule la dérivée f':

[tex]f'(x)=\frac{2x(2x-2)-2x^{2}}{(2x-2)^{2}}=\frac{4x^{2}-4x-2x^{2}}{(2x-2)^{2}}=\frac{2x^{2}-4x}{(2x-2)^{2}}=\frac{x(2x-4)}{(2x-2)^{2}}[/tex]

Comme le trinôme du second degré [tex]2x^{2}-4x=x(2x-4)[/tex], alors ses racines sont x=0 et x=2. Comme il a deux racines, alors son discriminant est strictement positif, et on a donc le tableau suivant:

x                  1                                 2                                  +∞

f'(x)              ║               -                Ф                 +

f(x)               ║   (décroissante)            (croissante)

D'après le tableau de variations précédent, on déduit que le minimum de f est atteint en x=2.

Donc la position du point M, pour que l'aire du triangle OMN soit minimal est x=2, soit le point M(2;0).

Et cette aire minimale est égale à f(2):

[tex]f(2)=\frac{2^{2}}{2 \times 2-2}=\frac{4}{2}=2[/tex]

Cette aire minimale du triangle OMN est donc égale à 2 cm².