Bonjour ;
1.
On a : f(0) = 0 ;
donc : ln(c) = 0 ;
donc : ln(c) = ln(1) ;
donc : c = 1 .
f admet un minimun pour x = - 0,5 ;
donc on a : f ' (- 0,5) = 0 .
Calculons f ' (x) .
f ' (x) = (ax² + bx + 1) ' / (ax² + bx + 1)
= (2ax + b)/(ax² + bx + 1) .
On a donc : f ' (- 0,5) = (- a + b)/(0,25a - 0,5b + 1) = 0 ;
donc : - a + b = 0 ;
donc : b = a .
On a aussi : f(- 2) = ln(5) ;
donc : ln(4a - 2a + 1) = ln(5) ;
donc : ln(2a + 1) = ln(5) ;
donc : 2a + 1 = 5 ;
donc : 2a = 4 ;
donc : a = 2 et b = 2 .
L'expression de f est : f(x) = ln(2x² + 2x + 1) .
2.
Pour x ≠ 0 ; on a : 2x² + 2x + 1 = 2x²(1 + 1/x + 1/(2x²)) ;
donc : lim(x --> - ∞) 2x² + 2x + 1 = + ∞ ;
et lim(x --> - ∞) ln(2x² + 2x + 1) = + ∞ ;
donc : lim(x --> - ∞) f(x) = + ∞ .
De même , on a :
lim(x --> + ∞) 2x² + 2x + 1 = + ∞ ;
et lim(x --> + ∞) ln(2x² + 2x + 1) = + ∞ ;
donc : lim(x --> + ∞) f(x) = + ∞ .
