Bonjour ;
1.
(X^2 + aX + b)Q = (X^2 + aX + b)(X^2 + 4X + 20)
= X^4 + 4X^3 + 20x^2 + aX^3 + 4aX^2 + 20aX + bX^2 + 4bX + 20b
= X^4 + (4 + a)X^3 + (20 + 4a + b)X^2 + (20a + 4b)X + 20b = P .
Par correspondance , on a :
4 + a = 0 ; 20 + 4a + b = 17 ; 20a + 4b = - 28 et 20b = 260 .
On a donc : a = - 4 et b = 260/20 = 13 .
2.
Les racines de P sont les racines de X^2 - 4X + 13 et X^2 + 4X + 20 .
Résolvons tout d'abord l'équation : x^2 - 4x + 13 = 0 ;
donc : Delta = 16 - 52 = - 36 = (6i)^2 ;
donc : x1 = (4 - 6i)/2 = 2 - 3i et x2 = (4 + 6i)/2 = 2 + 3i .
Ensuite résolvons l'équation : x^2 + 4x + 20 = 0 ;
donc : Delta1 = 16 - 80 = - 64 = (8i)^2 ;
donc : x3 = (- 4 - 8i)/2 = - 2 - 4i et x4 = (- 4 + 8i)/2 = - 2 + 4i .
Conclusion :
Lex racines complexes de P sont : 2 - 3i ; 2 + 3i ; - 2 - 4i et - 2 + 4i .
3.
Le coefficient directeur de la droite (AB) est :
(11/2 - 3/2)/(1/2 - (- 1/2)) = (8/2)/(1/2 + 1/2) = 4/1 = 4 ;
donc son équation réduite est : y = 4x + b avec b ∈ IR à déterminer .
La droite (AB) passe par le point A ; donc on a : 3/2 = 4 * (- 1/2) + b
= - 2 + b ; donc : b = 3/2 + 2 = 7/2 ;
donc l'équation réduite de (AB) est : y = 4x + 7/2 .
Le point Oméga est l'intersection de la droite (AB) avec l'axe
des réels , donc son ordonnée est : y1 = 0 ;
donc son abscisse x1 vérifie l'équation suivante :
0 = 4 x1 + 7/2 ; donc : 4 x1 = - 7/2 ; donc : x1 = - 7/8 .
4.
Je noterai le point Oméga : G .
La racine 2 - 3i correspond au point M1(2 ; - 3) ;
donc : GM1² = (2 - (- 7/8))² + (- 3 - 0)² = (23/8)² + 3²
= 529/64 + 9 = 1105/64 .
La racine 2 + 3i correspond au point M2(2 ; 3) ;
donc : GM1² = (2 - (- 7/8))² + (3 - 0)² = (23/8)² + 3²
= 529/64 + 9 = 1105/64 .
La racine - 2 - 4i correspond au point M3(- 2 ; - 4) ;
donc : GM3² = (- 2 - (- 7/8))² + (- 4 - 0)² = (- 9/8)² + (- 4)²
= 81/64 + 16 = 1105/64 .
La racine - 2 + 4i correspond au point M4(- 2 ; 4) ;
donc : GM4² = (- 2 - (- 7/8))² + (4 - 0)² = (- 9/8)² + 4²
= 81/64 + 16 = 1105/64 .
Conclusion :
On a : GM1 = GM2 = GM3 = GM4 = √(1105/64) = (√1105)/8 ;
donc les points M1 , M2 , M3 et M4 se trouvent sur le cercle de
centre G et de rayon (√1105)/8 .