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Bonsoir pouvez-vous m’aider pour cet exercice en maths merci d’avance pour votre aide
On considere la fonction f definie sur l'intervalle [-2;3] par f(x)=-2x^3+3x^2+12x+15 et C sa courbe représentative dans un repère du plan
1)Déterminer la dérivée de f
2)Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse 1 de C
3)On s’intéresse à la position de la courbe C par rapport à la tangente T.On considère la fonction g définie sur [-2;3] par g(x)=f(x)-(12x+16)
a) Didier le sens de variation de g sur [-2;3] et calculer g(-0,5)
b)En déduire le signe de g sur [-2;3]
c)Déterminer la position de T par rapport à C sur [-2;3]

Sagot :

Réponse :

soit  f(x) = - 2 x³ + 3 x² + 12 x + 15  définie sur [- 2 ; 3]

1) déterminer la dérivée de f

  f '(x) = - 6 x² + 6 x + 12

2) déterminer une équation de la tangente T à C au point d'abscisse 1 de C

l'équation de la tangente s'écrit:  y = f(1) + f '(1)(x - 1)

f '(1) = - 6*1 ² + 6*1 + 12 = 12

f (1) = - 2*1³ + 3*1² + 12*1 + 15 = 13+15 = 28

y = 28 + 12(x - 1)

  = 28 + 12 x - 12

  = 12 x + 16

Donc l'équation de la tangente T à C  est:   y = 12 x + 16

3) a) étudier le sens de variation de g sur [- 2 ; 3] et calculer g(- 0.5)

g(x) = f(x) - (12 x + 16)  ⇔ g(x) = - 2 x³ + 3 x² + 12 x + 15 - 12 x - 16

⇔ g(x) = - 2 x³ + 3 x² - 1

g '(x) = - 6 x² + 6 x   ⇔ g '(x) = 6 x(- x + 1) ⇔ g '(x) = 0 ⇔ 6 x(- x + 1) = 0

⇔ x = 0  ⇒ f(0) = 15

    x = 1 ⇒ f(1) = - 2 + 3 + 12 + 15 = 28

x        - 2                            0                           1                          3            

g(x)    - 13 →→→→→→→→→→→ 15 →→→→→→→→→→  28 →→→→→→→→→  24

                  décroissante           croissante           décroissante

Explications étape par étape

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