nanou198765
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Bonjour,
si quelqu’un veut bien m’aider merci,
« Soit n un nombre entier naturel.
1. Développer et réduire le nombre:
(n^2+n+1)(n^2-n+1)
2. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles le nombre n^4+n^2+1 est premier »
Merci d’avance
Bonne journée

Sagot :

Bonjour ;

1.

(n² + n + 1)(n² - n + 1)

= n^4 - n³ + n² + n³ + - n² + n + n² - n + 1

= n^4 + n² + 1 .

2.

Pour n = 0 , on a : n^4 + n² + 1 = 0^4 + 0² + 1 = 1

qui n'est pas un nombre premier .

Pour n = 1 , on a : n^4 + n² + 1 = 1^4 + 1² + 1

= 1 + 1 + 1 = 3 qui est un nombre premier .

Pour n ≥ 2 ; on a : n² + n + 1 ≥ 2² + 2 + 1 = 7 ;

et : n² - n + 1 ≥ 2² - 2 + 1 = 3 ;

donc : n^4 + n² + 1 = (n² + n + 1)(n² - n + 1)

est un produit de deux facteurs supérieurs

strictement à 2 ; donc il n'est pas un nombre premier .

Conclusion :

n^4 + n² + 1 est premier seulement pour n = 1 .

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