Bonjour ;
1.
Le triangle OA0A1 est rectangle isocèle en A1 ;
donc en appliquant le théorème de Pythagore ,
on a : OA1² + A1A0² = OA0² ;
donc : 2 OA1² = 1 car OA1 = A1A ;
donc : OA1² = 1/2 ;
donc : OA1 = (√2)/2 .
2.
a.
le triangle OAnA(n + 1) est rectangle isocèle en A(n + 1) ;
donc en appliquant le théorème de Pythagore ,
on a : OAn² = OA(n + 1)² + AnA(n + 1)² ;
donc : OAn² = 2 OA(n + 1)² car OA(n + 1) = AnA(n + 1) ;
donc : OA(n + 1)² = 1/2 OAn² ;
donc : OA(n + 1) = (√2)/2 OAn .
b.
On a pour tout n ∈ IN : OA(n + 1) = (√2)/2 OAn ;
donc pour tout n ∈ IN : u(n + 1) = (√2)/2 u(n) ;
donc la u(n) est une suite géométrique de raison q = (√2)/2
et de premier terme u0 = OA0 = 1 ;
donc son terme général est : u(n) = u0 x q^n (^ veut dire puissance)
= 1 x ((√2)/2)^n = ((√2)/2)^n .
3.
a.
Pour tout n ∈ IN : OA(n + 1) = AnA(n + 1) ;
donc : Ln = OA0 + A0A1 + .... + A(n - 1)An
= 0A0 + OA1 + ...... + OAn
= 1 + (√2)/2 + ......... + ((√2)/2)^n
= (1 - ((√2)/2)^(n + 1))/(1 - ((√2)/2)) .
b.
On a : (√2)/2 < 1 ;
donc : lim(n--> + ∞) ((√2)/2)^(n + 1) = 0 ;
donc : lim(n--> + ∞) Ln = lim(n--> + ∞) (1 - ((√2)/2)^(n + 1))/(1 - ((√2)/2))
= 1 /(1 - ((√2)/2)) = 2/(2 - √2) .