bjr
Un+2 = Un+1 + Un (1)
le premier terme de cette suite géométrique est Uo = 1
la raison est q (q > 0)
1)
propriété
Un = Uo x qⁿ
Un+1 = Uo x qⁿ⁺¹
Un+2 = Uo x qⁿ⁺²
on remplace dans (1)
Uo x qⁿ⁺² = Uo x qⁿ⁺¹ + Uo x qⁿ
on simplifie par Uo x qⁿ non nul, il reste
q² = q + 1
2) q est solution de l'équation
q² - q - 1 = 0 on la résout
Δ = (-1)² - 4*(-1) = 5
il y a deux solutions
q1 = (1 - √5)/2 et q2 = (1 + √5)/2
l'énoncé précise une raison positive, q1 est < 0 donc à rejeter
réponse
(1 + √5)/2 (c'est lui le nombre d'or)
3)
calcul de q⁴
q² = [(1 + √5)/2] = (6 + 2√5)/4 = (3 + √5)/2
q⁴ = [(3 + √5)/2]² = (14 + 6√5)/4 = (7 + 3√5)/2
calcul de 3q + 2
3(1 + √5)/2 + 2 = [(3 + 3√5) + 4] / 2 = (7 + 3√5)/2
l'égalité est vérifiée
