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1. Solt a et b deux entiers, naturels, avec a >b.
Montrer que, si a2- b2 est premier, alors a et b sont des entiers
consécutifs.
2. Enoncer la réciproque de l'implication précédente.
Est-elle vraie ?

Merci d’avance

Sagot :

trudelmichel

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

1)

a²-b² est un nombre premier

il n'a que 2 diviseurs lui et 1

(a²-b²=(a+b)(a-b)

donc 1=a-b

et

a²-b²=a+b

si 1=a-b alors

a>b    a=b+1

a²-b²= (b+1)²-b²

a²-b²= b²+2b+1-b²

a²-b²= 2b+1

a²-b²= (b+1)+b

a²-b²=a+b

donc si a²-b² est un nombre premier

a=b+1

a et b sont des nombres consécutifs

2) réciproque

si a et b sont des nombres consécutifs alors a²-b²est un nombre premier

soit 8 et 7 2nombres consécutifs

8²=64

7²=49

8²-7²=15

15 n'est pas un nombre premier

15 est divisible par 1 ; 3; 5 et 15

la  réciproque n'est donc pas vraie

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