Bonjour ;
a.
(a - b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² - ba² - ab² - b³ = a³ - b³ .
b.
(n + 3)³ - n³ = ((n + 3) - n)((n + 3)² + n(n + 3) + n²)
= (n + 3 - n)((n² + 2 x 3 x n + 3²) + n² + 3n + n²)
= 3(n² + 6n + 9 + 2n² + 3n)
= 3(3n² + 9n + 9)
= 9(n² + 3n + 3) .
c.
convention : ^ veut dire puissance .
Si k = 0 ;
donc : (n + 3^k)³ - n³ = (n + 1)³ - n³ = ((n + 1) - n)((n + 1)² + n(n + 1) + n²)
= 1 x (n² + 2n + 1 + n² + n + n²) = 3n² + 3n + 1 = 3n(n + 1) + 1 qui n'est
pas un multiple de 3 = 3^1 = 3^(0 + 1) ;
donc il faut spécifier que k est un nombre entier naturel non nul .
(n + 3^k)³ - n³ = ((n + 3^k) - n)((n + 3^k)² + n(n + 3^k) + n²)
= (n + 3^k - n)(n² + 2 x (3^k) x n + (3^k)² + n² + (3^k) x n + n²)
= (3^k)(3n² + 3 x (3^k) x n + 3^(2k))
= (3^k) x 3(n² + (3^k) x n + 3^(2k - 1))
= 3^(k + 1) x (n² + (3^k) x n + 3^(2k - 1)) .
